浅谈习题课如何加强数学核心素养的培养
——以高三一轮复习“圆锥曲线定义再探”为例

◎陈丽洪

(福建省福清第三中学，福建 福州 350315)

高中数学核心素养主要是指培养学生在对数学知识的掌握中形成一种适合于终身发展需要而必备的综合能力和关键品格.在高中数学习题课中，教师通过引导学生积极地开展数学习题训练，能够促进学生对数学知识进行有效的梳理和巩固，促使学生在当前教育环境下获得全面发展.

一、高中数学习题课堂教与学研究的现状分析

从当前高中数学习题课教学的现状来看，高中数学习题课教学的不足主要表现在以下几个方面.

(1)在具体课堂开展过程中，课堂进程通常由教师把握，学生在学习过程中较为被动，难以有效参与到知识的学习及思考当中，影响了学生对数学知识点的理解.教师对课堂的主导让学生难以暴露问题，影响了教师对学生课堂反馈的掌握，无法及时调整课堂节奏.

(2)教师对习题课的教学缺乏有效的设计，主要还是就题解题，按照练习题目的顺序或者按照知识点归类进行习题讲解，因而导致习题课的教学方式比较单一，学生对于习题课的兴致不高，影响了习题课教学质量的提升.

(3)在习题课中，学生只是机械地跟着教师的思路，未对题目进行深度反思，不能更加深刻地掌握题目，无法做到举一反三，导致了在自主解题的时候出现题目熟悉但无从下手的情况，限制了数学核心素养的发展.

(4)在习题课中，教师因缺乏对整体学生认知情况的关注，过分关注学生是否跟随自身节奏开展学习活动，使得教学时以偏概全，课堂受众面窄，课堂形成假热闹现象，忽视了那些“凑热闹”的学生的发展.

基于高中数学习题课存在的这些问题，笔者认为针对习题课有效教学的探究刻不容缓，以下谈几点粗浅的认识.

二、基于习题课教学视角下培养学生数学核心素养的有效对策分析

高中数学习题课教学的要素是把握习题课的教学特点和核心内容，对学生进行有针对性的引导，使得学生能够积极、主动地投入习题课的学习和思考当中，以提升数学习题课的教学效果和质量，发展和培养学生的数学思维和核心素养，实现学生更加全面的发展.在一堂数学习题课中培养学生的数学问题思维和数学核心素养时，应注重从以下几个方面进行把握.

(一)把握学生认知水平，对习题课进行有效的设计

无论何种课型，教师在课前都应该对课堂做好有效的设计，如此才能收到事半功倍的教学效果.要做到对习题课的有效设计，在选题时，教师应把握学生的学情，遵循基础性、分层性、探究性、创新性、趣味性等原则，选择合适的例题，而不是单纯地选择相同类型的问题；在针对具体问题进行设计时，教师还需要进一步结合学生思维能力的发展，从学生的视角出发，针对问题引导进行设计，在提问环节要注意提出的问题应该具有引导性，且层层递进，使课堂结构更加完整；在针对课堂具体内容进行设计时，教师不仅要考虑自身所处地位、具体教学重点，还应该设计相关环节进一步调动学生的学习积极性，让学生在课堂活动中收获学习经验，使每个学生都能在自身基础上有所提升，建立学习信心.总之，在进行课堂设计时，教师应立足于让学生怎么学，引导学生在具体学习过程中获得学习感悟，并从感悟之中体会学习的乐趣，这也是培养学生学习积极性的关键方式.

(二)突出逻辑推理能力培养，为学生解题打下基础

逻辑推理能力是数学思维和核心素养的重要组成部分，也是培养学生处理数学问题的根本能力.因此，高中数学习题课堂教学需要教师更加注重对学生逻辑推理方法和思维能力的训练，为学生解题打下良好的基础，促进其核心素养的培养.基于此，在具体的习题训练过程中，教师应进一步关注变化性或创新性较强的题目类型，针对学生的逻辑推理能力进行培养，激发学生的思辨思维.

教师通过收集、统计本班学生的求解方法，得到三种解法.

解法一：设双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2，|F1F2|=2c(c>0).

可求得|PB|=|OP|=|OB|=2c.

可求得|PB|=|OP|=|OB|=2c.

可求得|PB|=|OP|=|OB|=2c，则∠PBO=60°.

展示解法后，教师进一步引导学生对三种解题方法的好坏进行比较，引导学生针对相关题目进行进一步思考，帮助学生建立自身的逻辑推理能力.

问：得到PF2⊥x轴后，三种解法都用到了一个什么条件？

答：P是双曲线上的点.

问：三种方法分别是从什么角度进行转化的？

答：解法一是从双曲线的具体定义角度进行考虑的，解法二是从双曲线方程角度进行考虑的，解法三是从双曲线通径角度进行考虑的.

问：三种解法分别要经历怎样的运算？

答：解法一只需解关于e的一次方程，而解法二与解法三分别需要求解关于e的四次方程与二次方程.

至此，哪种方法最好已水落石出.由此可见，教师在习题课中培养学生数学逻辑推理能力应注重对多种解法的呈现与比较，让学生在比较中发现问题的本质，从而再遇到相关题目的时候可以更加有的放矢.长此以往，学生的逻辑推理能力将达到质的飞跃.

学生自主完成，并展示.

思路展示：设双曲线C的左焦点为F′，连接MF′，

从双曲线定义出发，可得|MF′|-|MF|=2a，

师生总结：圆锥曲线的本质即定义，题目中涉及点在曲线上，应该首先抓住定义，构建焦点三角形模型求解.

【设计意图】有了课前自测三种解题方法的展示铺垫，学生能快速地选择最佳的方法解答此题，进一步体会圆锥曲线定义的本质，达到学以致用的目的.这不仅培养了学生学习数学的自信心，也提高了习题课的效率，提升了学生的逻辑推理核心素养.

(三)开展合作探究讨论学习，提高学生的数学解题能力

在习题课教学中，如何使不同水平的学生都能够进一步掌握数学习题的解题方法是教师需要认真思考的.故教师在习题课中要不断地强化学生的数学解题意识，并采取科学、合理的方式划分学习小组，形成有助于学生学习的氛围.这一过程中，教师应联系学生的数学学习层次，将不同层次的学生进行穿插安排，确保每一个学习小组都具备合作探究学习的能力.之后，在学习程度较好学生的带领下，中等学习程度学生负责协调，使学习程度较差的学生也能有效参与到合作学习中，掌握数学习题的解题方法，使班级学生的数学解题能力得到全面提升，实现数学核心素养培养目标.

回归课本(选择性必修第一册P108例3)

问：你能否就上面例题进行一次有意义的探索？

问：同学们能否根据所求方程说明点M的轨迹？

学生：是一个椭圆.

问：能否具体一点？

追问：条件中的A，B与椭圆有什么关系？

学生：动点M的运动轨迹为椭圆，A，B两点恰好为椭圆长轴端点.

问：那么两直线斜率之积与椭圆的相关量有关系吗？

追问：你能否对所得结论做进一步拓展？

问：能否拓展到双曲线？

提炼：学生共同总结得到椭圆与双曲线的第三定义，对椭圆与双曲线有了更深刻的认识.

问：若将端点A,B改为双曲线上关于原点对称的两点，那么上述结论是否仍旧成立？

学生小组探究过程：

即上述结论仍旧成立.

教师引导学生回顾、总结探究思路：从特殊到一般.学生在这一过程中合作探究,共同收获了活动经验，受用终身.

课后思考：当椭圆与双曲线的焦点在y轴上时，仍然有一样的结论吗？

【设计意图】在整个探究过程中，学习程度好的学生能更积极地思考并提供有效思路，而学习程度稍差的学生也能主动参与计算求解.在教师的适当引导下，小组共同进行探究，学习程度好的学生带动其他学生对结论做进一步的推广，这不但激发了小组学生的研究和探索热情，还可以引导学生进一步深入学习，培养学习兴趣，体会学习成就感.

(四)有效利用分层教学方法，提升数学习题教学效果

在针对高中知识进行具体教学的过程中，学生的数学思维能力培养是重点.在具体教学过程中，教师可以以学生的学习基础为出发点，为学生布置更适合的作业及练习形式，在教学过程中立足实际，从习题出发，引导学生对数学知识点做不同层次的学习及理解，促进其对数学知识的学习及内化，从而提升数学习题课教学效果.鉴于高中学生的数学学习技巧和能力参差不齐，教师要充分尊重学生的个体特点，坚持因材施教原则，对学生做好分层指导，以满足高中生多样化的数学学习需求，加强习题教学的针对性和有效度，从解题技巧方面对学生进行针对性训练.

作出符合题意的图像：

问：根据上述推广可以得到什么结论？

问：题设中角的条件能否转化成直线的斜率？

问：那么直线QN的斜率又该如何表示？

学生合作讨论并发表见解.

生：延长NQ交x轴于点H，画出直线QN的倾斜角α，由图可知，α是△HNP的外角，

由∠MNQ=30°，∠HPN=120°，可得α=150°，

解题总结：上述解法首先利用圆锥曲线第三定义的推广结论确定求解目标，接着在目标的引领下，将题设中角的条件转化为直线倾斜角，利用直线倾斜角与斜率的联系表示出斜率，由此解决问题.

【设计意图】教师对学生做出分层指导.例如，上述题目中涉及的应用，教师可以将其划分到基础题型之中，要求全部学生完成，从而实现夯实基础、熟练结论的目的.应用2虽为一道填空题，但比较灵活，在教师的点拨下，学习程度较好的学生能够对条件进行转化，并解答，而学习程度好的学生对题目的解答可以带动其他学生对题目有进一步的理解，起到帮扶作用.在这个学习环节中，各层次学生的逻辑推理核心素养都得到了不同程度的发展，使数学习题教学效果及教学质量得到有效提升，进一步培养了学生的数学核心素养.

(五)调动学生内在学习动力，形成学生自我发展能力

教师的课堂活动本质上就是为了学生的学习，而针对学生学习效率进行进一步提升的关键在于充分调动学生的学习积极性，使学生更主动地投入数学学习之中.学生的学习主要靠的不是老师、家长，外在的驱动力只能维持一时的学习热情.学生若想保持长久的学习兴趣，关键在于内生动力的发掘.若学生可以充分调动自身学习的主观能动性，那么学习效率自然会不断提高.

首先，教师应引导学生树立短期目标.在明确目标的指引下，学生可以在学习过程中拥有更为明确的学习规划，因此，才可以在枯燥的学习生活中体会到学习的愉悦感，并收获学习成就感，这也有助于其在之后的学习过程中能够迎难而上.教师可以引导学生根据自身的情况树立通过努力可以实现的短期目标，从而使不同层次的学生都能树立学习数学信心，看见成功的希望，激发学生主动学习，形成自我发展的能力.

其次，教师在课堂上要注意评价技巧.学生在课堂上回答问题过后，往往希望能够得到任课老师的一些赞扬与肯定.因此，教师若想进一步活跃课堂整体学习氛围，就应该注重课堂评价技巧的使用，不要仅凭学生的学习成绩判断学生的学习能力，而应以持续发展的角度认真对待每一个学生的学习过程，除了从学生的知识能力角度进行表扬，也可以对学生回答问题的积极程度、行为举止进行评价，挖掘学生的闪光点，进一步提高其学习积极性.

总之，在组织开展高中数学习题课教学的过程中，教师应该充分立足于每一个学生的实际和学情，以培养高中数学的核心素养为核心主线，倡导一题多解、一问多变，采用分层式教学的方法，引导每一个学生积极、持续不断地投入较高水平的数学思维活动中，强化每一个学生对数学知识的基本掌握及深刻理解，并从学习方式入手，帮助学生建立正确的数学思考方式，有效提高课堂学习效率.