多元方法渗透转化迁移 回归生活促成素养提升
——以“组合图形的面积”教学为例

◎杜俊宏 吴世彬

(西南大学附属小学，重庆 400700)

2022年义务教育数学课程标准的颁布，明确提出了数学是一门研究数量关系和空间形式的学科，要通过数学的学习形成和发展学生的核心素养，引导学生通过学习活动获得相应的“四基”与“四能”.想要突破以往过分注重学生基础知识与基本技能掌握，片面追求学生解题与应试能力的问题，需要数学教师基于学生的认知特点，将抽象的数学知识与生活紧密联系，在教学中凸显学生的主体地位，关注学生个性化、多样化的学习和发展需求，同时注重数学思想与方法的渗透，聚焦学生核心素养的培养.

其中，转化作为小学数学课程体系中一种居于核心地位的思想与方法，其精髓在于充分激活学生已知的前概念，通过迁移、演绎或归纳，将复杂的问题简单化，将未知的问题已知化，将抽象的问题具体化，进而实现对问题的有效解决.从培养学生核心素养的角度出发，转化也是对小学生推理意识和创新意识等多种意识与能力的一种有效运用和提升.因此，在教学设计和实施过程中，有效调动学生的思维参与程度，引导学生通过转化迁移的方式，通过自主探究、多元探索的方式解决问题，对于达成学生核心素养导向的课程目标与落实促进学生发展的教学活动具有举足轻重的意义与价值.基于上述指导思想，笔者及研究团队选择“组合图形的面积”一课进行相应课例的行动研究，以期构建相应课例的开发与设计的实践路径.

一、教学分析定位

“组合图形的面积”是西师版教材六年级上册“圆”单元第三节“圆的面积公式”第二课时的内容.通过之前的学习，学生已经系统掌握了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形等几何图形面积的计算公式，具备了计算长方形、三角形、梯形、平行四边形等组合图形面积的能力，对于转化思想也有了一定的认识和了解.而本节课在组合图形的组成上，除了加入圆的图形元素外，更加强调数与形之间的转化，在深度和广度上进一步拓展了学生对于转化的认识和理解.因而可将“组合图形的面积”一课定位为不仅是对之前所学内容与思想方法的巩固，更是对学生自主深度运用转化思想、落实学生数学核心素养、促成学生全面发展的“种子课”.

因此，研究团队将本节课的教学目标定为：学会运用割补等方法将较复杂组合图形转化为基本图形的策略，能解决较复杂组合图形的面积；经历解决与圆面积相关的较复杂问题的过程，培养发现问题、分析问题、解决问题、总结问题的能力，实现学生几何直观、推理意识、创新意识、应用意识等核心素养的运用与提升；积累解决问题的活动经验，感受数学学科对于实际生活的作用，获得成功的体验，增强学习数学的自信心，形成健康、积极、正确的情感、态度和价值观.

二、教学过程解读

(一)复习引入，回忆“割补”转化经验

师：同学们，今天这节课我们来研究组合图形的面积.请问，下面三个图形中的阴影部分的大小有什么关系？你是怎么想的？(图1)

生2：将图2和图3中的阴影部分分割了再拼起来，就能转化为与图1完全相同的图形，所以阴影部分的面积大小相等.

小结：我们把先分割再移补的方法称为割补法.

【设计意图】上述教学环节旨在唤醒学生对于“割补法”的记忆，为后面教学环节的开展提供方法层面的准备，同时这种通过数形结合的方式认识问题、解决问题的思路，也为本节课的教学目标、教学内容以及学习方式奠定了基础.

(二)多元探索，转化思想向广度发展

师：小明家买了一张外圆内方的折叠桌，折下去就是一个正方形，翻上来是一个半径为0.6 m的圆形，能增加使用面积，这样的折叠桌因为可以节省空间，很受大家欢迎.他很好奇桌子的折叠部分到底有多大，你们能帮帮他吗？(图2)

生1：圆桌的半径是0.6 m，求折叠部分的面积，其实就是求图中阴影部分的面积.

生2：可以用圆的面积减去正方形面积得到阴影部分的面积，但是不知道正方形边长，怎么求正方形的面积呢？

生3：看来求正方形的面积就是解决这个问题的关键.

生4：将正方形分成三角形，或者利用“对角线×对角线÷2”可以求其面积.

师：看来很多同学根据自己所学已经找到了解决方法，其他同学也不要着急，接下来我们以小组为单位开展合作探索.

(教师出示“探究提示”：可以用自己喜欢的方法，也可以借助学具用折、画、剪的方法帮助思考.请一个学生专门做记录，用算式表达大家的计算方法.

准备学具：一张标注了半径0.6 m的圆形纸和剪刀.

准备教具：彩色的圆形、三角形、扇形卡纸.)

生1：可以把正方形分成2个等腰直角三角形，用斜边长度的平方除以4是直角三角形的面积，用圆的面积减去两个直角三角形的面积就得到了阴影部分的面积.(图3)

生2：把正方形分成4个等腰直角三角形，则一个小直角三角形的直角边的长就是0.6 m,计算出4个直角三角形的面积和圆的面积，相减可得到阴影部分面积.(图4)

生3：把正方形像这样分割成4个小直角三角形之后，再移补成2个小正方形.(图5)

生4：把正方形分割成4个小直角三角形之后，再移补成1个长方形.(图6)

生5：将正方形分割成2个直角三角形之后，再移补成1个大的直角三角形.(图7).

生6：把整个“外圆内方”的组合图形分割成4个圆心角为90°的扇形，分别算出阴影部分面积再求和.(图8)

师：回顾刚才解决问题的过程，我们是怎么解决求圆中正方形面积这个关键问题的？

生1：将正方形分割成2个或4个直角三角形.

生2：先将正方形分割成2个或4个直角三角形，再移补成正方形、长方形、大三角形.

生3：将整个外圆内方的图形分割成4个扇形.

小结：也就是把组合图形用割补的方法转化成我们曾经学过的基本图形.

【设计意图】上述教学片段的设计旨在从学生熟悉的折叠桌出发，提出求翻折部分面积的数学问题，利用生活化的视角将重点聚焦在只知道圆的半径，不知道正方形的边长，但要求出阴影部分面积的矛盾点,引导学生以小组分工合作的方式，利用外圆内方的纸片和剪刀，基于“做中学”的理念，启发学生在动手实践的同时，学会用数学的思维思考问题，使他们在动手、动脑相互配合、互相融合之时激发更多的灵感，产生多样的转化方法，增加学习的获得感，从而实现学生对于教学活动的有效参与，培养了学生的推理意识、几何直观能力和创新意识.最后对于多元方法的总结和归纳，其目的是鼓励学生通过对各种方法的对比和思考，实现从表面深入实质、从形式深入思维的跨越，有效捕捉和领悟上述方法的本质在于实现图形面积计算从未知向已知的“转化”.

(三)能力提升，转化思想向深度发展

师：这是元朝末年农民起义军徐寿辉政权使用的特制铜章(图9)，距今已有600多年历史.印章外圆内方，园印的方框内刻有“管军万户府印”6个字，方框外四周有阳刻勾连雷纹环绕，颇具庄重感.通过测量，得知园印中间正方形方框的边长是6 cm，那么印章的整个圆形截面面积是多少平方厘米？

生1：将正方形转化为2个直角三角形，三角形的底为2r、高为r，三角形的面积也就是r2，r2知道了，再算出圆的面积.(图10)

生3：将正方形分割成4个直角三角形，其中的2个移补成一个边长为r的小正方形，小正方形的面积即r2，r2知道了，再算出圆的面积.(图12)

师：回顾刚才解决问题的过程，我们怎么解决未知半径求圆的面积这个问题的？

生1：我们将半径r与图形联系了起来，用r表示三角形的底或者高，从而得到了r2，算出了圆的面积.

生2：我们将半径r与图形联系了起来，用r表示正方形的边长，从而得到了r2，算出了圆的面积.

师：看来，我们没有走根据r求r2再算圆的面积这条老路，而是利用数和形的转化得到了r2的数值，从而算出了圆的面积.

【设计意图】上述教学过程，教师从古代的铜章引出问题，在渗透数学文化、数学生活化理念的同时，引导学生进一步深化对于转化的理解.在面对已知正方形的边长，圆的半径未知，却要计算圆的面积的矛盾时，教师启发学生用数学的思维去找寻r和图形之间的联系.虽然半径和正方形的边长没有直接联系，但是在上一个教学片段的启示下，学生自然能迁移运用r和正方形中三角形的联系：用r表示三角形的底或者高，得出r2的数值，进而架构r2与圆形面积的联系，从而解决了问题，进而使得数和形的转化在探索过程中得以实现，达成了随着探究的不断深入，学生的推理意识、创新意识、应用意识得到进一步提升的目的.

三、教学总结与反思

本节课的教学设计有效诠释了数学的本质在于学生对思考的充分自由，借助圆形、三角形、长方形、正方形等基本图形，通过割补转化的方式，引导学生经历了知识的发生和发展的过程，通过学生多元方法的提出，进而比对、总结、凝练方法的本质和内核，同时体现了对于“转化”思想的深入运用，不仅有图形与图形之间的迁移转化，还涉及了数与形之间的转化应用，在广度与深度上加深了学生对于“转化”的理解.

除此以外，本节课在教学元素与内容设计上渗透了数学文化、数学生活化的理念，强调了知识的体系链接，即从复习旧知唤醒记忆到驱动学生认知，从横向和纵向两个维度不断探索.本节课在课程设计的立意上，围绕学生核心素养的培养，在整个教学实践过程中重点关注了学生的推理意识、几何直观等素养的培养，在学生的思辨与讨论环节中，促成了学生思维品质和关键能力的发展，指向了会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界的课程旨归.