基于长程设计的小学数学起点型核心知识凸显式教学*

黄红成

数学核心知识是具有较强解释能力、生长能力和迁移能力的数学知识，通常表现为数学概念、运算规律及其蕴含的数学思想方法等，其中扮演知识框架承重点、发散点、发生点和连接点等角色的即为数学起点型核心知识。由于这些核心知识是高度概括、合理简化和科学遴选的结果，所以教师教学时需要着眼总体进行长程设计，采用凸显式的教学方法来挖掘其内涵，以显现其地位和价值。

一、长程设计、凸显式教学与数学起点型核心知识

长程设计也可以称为整体设计、总体设计等，可以看作各个阶段设计的集中和不同过程设计的整合。对数学起点型核心知识来说，长程设计是指依据知识之间存在的内在逻辑关系和学生的阶段认知特征设计的长线教学过程。长程设计关注落实过程中知识教学目标达成的阶段性，也注重知识教学前后或整体的一致性，是教学目标阶段性和一致性的统一。

凸显即清楚地显露。凸显式教学是一种将知识的表征、内涵等予以直观呈现，以突出知识的本质和内涵，并能让学生掌握和领悟的教学方式。凸显式教学的表现形式多样，聚焦核心问题、放大教学环节、拉长教学过程等是其主要形式。数学起点型核心知识多表现为抽象、浓缩或简化后的知识、概念、思想、方法等，在数学知识序列中发挥着贯通前后、承上启下等作用，通常需要以文字、图形、符号、式子等形式将其凸显出来，以引起学生的重视。

概言之，数学起点型核心知识的教学，不仅需要长程设计、整体设计和阶段设计、过程设计，也需要在起始阶段或独立教学中通过拉长教学过程、增设教学环节、凸显知识本质等，着力于起始阶段教学目标的设置和达成，讲求起始教学的阶段性和整体设计的一致性，为促进学生的知识生长、能力孕育、思维进阶等提供可能和支撑。

二、基于长程设计的小学数学各领域起点型核心知识的凸显式教学

1.在图形教学的概念分析中开展凸显式教学

数学概念是数学起点型核心知识的主要表现形式之一，也是图形教学中最常见的内容，是学生判断和解决问题的重要依据，对学生后续学习中的数学认知和数学理解具有一定的支撑作用。在数学概念教学中采用凸显式的教学方式，是提高数学起点型核心知识教学实效的一条重要路径。

以“高”这一概念的教学为例。学生通常认为“高”是垂直方向点（或面）到点（或面）之间的距离，这与图形中的“高”可以看作一条特殊位置的线段（即“两个特定点之间的距离”）有一定差异。苏教版教材首次揭示“高”的概念是在四下《认识三角形》这节课中，借助人字梁让学生结合已有知识经验判断和认识“高”。学生根据人字梁中高的“样子”概括出高的定义——“从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高”。如此操作，学生对高的理解仍然不够深入。教师教学时可以增设以下类似环节：（1）动态演示。先将人字梁抽象成三角形并引出高（保留高），然后将三角形旋转，在旋转过程中采用定格的方式让学生积累“顶点和底边发生变化，高的位置也会发生变化”等认识。（2）对应“点”“边”。让学生找出对应的顶点和高，依次出示图1和图2，让学生知道“每个顶点都有固定的底边，每条底边也有对应的顶点”。（3）变式教学。只改变底边的长度或只移动顶点的位置，让学生知道“底边位置确定了，顶点的位置不同，高往往不同”“底边的长度不同，但是顶点的位置不变，高可能相同”等。

（图1）

（图2）

上述教学中的每个环节都针对高的内涵而设计，前两个环节是让学生学会判断高，不仅为学生画高打下了坚实的认知基础，也为他们后续学习立体图形中的高作好了铺垫；第三个环节有助于强化高的表象，丰富学生对高的外延的认知。这样，既能凸显高的本质（两个特定点之间的距离），也为学生在后续学习中自觉运用已有知识来同化或顺应其他图形中“高”的意义打下了基础，实现了数学起点型核心知识的内涵和本质在长程学习中的一致性。

2.在运算教学的意义认知中开展凸显式教学

运算的意义是数学起点型核心知识的重要组成部分，是运算教学的核心内容，教师教学时需要让学生准确把握运算意义的内涵，展现数学起点型核心知识的顺应、同化、迁移等作用，凸显式教学有利于上述诸多教学目标的达成。

以“除法的意义”的教学为例。长线审视，小学层面关于除法的教学与应用大致可分为三个阶段——除法意义的教学和整数范围内除法的应用、小数除法的意义及应用、分数（百分数）除法的意义及应用。其中，真正有助于学生建立除法意义的是整数阶段的教学，后面两个阶段多为引导学生借助对乘法和除法之间的关系以及问题解决经验的认识来学习除法问题。在教学中，学生在整数范围内关于除法意义的认识比较清晰，当教学对象扩展到小数和分数领域，他们对除法的理解和应用经常出现困难，在解决类似“1.5千克小麦可以磨1.2千克面粉，照这样计算，磨1千克面粉需要多少千克小麦？”的问题时，往往会显现出对除法意义认知的混乱。为此，教师教学“平均分”之后，可以结合教材编拟的“6个小朋友坐缆车，每车坐2人，要坐（ ）车”等问题，让学生用小棒代替小朋友来表示题意，再根据题意理解除法算式的意义，然后进行如下即时练习：一是根据前面“平均分”的学习素材和问题，思考“6÷2”可以表示怎样的问题并举例说明，让学生将内化的除法意义进行外显，丰富他们关于除法意义的数学表象和认知，为其运用除法意义进行判断或解决问题建立认识支撑；二是比一比平均分的对象的个数和平均分的份数、每份的个数，让学生在学习的起始阶段认识到“平均分的对象的个数不少于平均分的份数或每份的个数”，关注除法各部分之间的大小关系，从不同维度感受和认识除法算式，强化其对除法意义的认识。

3.在统计教学的引入环节开展凸显式教学

统计教学是数学教学的重要组成部分，学生数据意识的形成与发展是统计教学的核心问题，需要教师精心创设凸显数据分析的教学情境，促进学生理解统计知识的作用。

以“分段整理”的引入为例。“分段整理”是在学生学习了简单数据或对象的整理和统计方法之后，对数据区间较大的统计对象进行的分析和整理，通常置于复式统计图的教学之前，因而这节课可以看成数据意识培养的起始课题。如果依照教材按部就班地出示原始数据后直接进行统计方法的教学，学生虽然可以掌握整理的方法，但对于“为什么要分段整理？”“为什么这样分段？”等问题往往会一头雾水，难以感受到分段整理的意义，也难以形成数据意识。教师教学时不妨设置如下两个问题——（1）出示学校鼓号队员集体照，提问：学校准备给24名鼓号队员购买服装，需要考虑哪些问题？依据什么来购买服装？交流时，基于学生的回答明确“根据队员的身高来购买比较合适”和“根据队员的身高来确定服装的型号”；（2）出示鼓号队员的身高数据，追问：鼓号队有24名队员，他们的身高有高有矮，是不是需要给每个队员确定一种型号呢？由于问题不切实际，所以学生纷纷回答“不可能”。“既然不能一个身高定一种型号，那么该怎样来确定型号呢？”学生能够根据生活实际想出“将130几厘米、140几厘米、150几厘米等分别定为一种型号”的方法，然后再进行数据整理。上述情境中，学生在考虑购买服装的相关因素时，需要结合生活实际进行分析，认识到不同的身高需要购买不同型号的服装，并且“不可能有一种身高就来确定一种型号”，进而产生对原始数据进行“分类和整理”的需要，使得分段整理的出现显得顺理成章。可以说，上述凸显式教学既启发了学生的数学思维，培养了学生的问题解决能力，又有助于学生数据意识的发展。

4.在“综合与实践”教学中就推理能力培养开展凸显式教学

“综合与实践”领域涵盖的数学起点型核心知识较多，涉及各种思维方式、思想方法等的教学和运用。分析现行的数学教材，数学核心知识的运用显得单一而突出，每个课题都可以看作教学数学核心知识的起点课题，因而在“综合与实践”教学中，需要格外重视数学起点型核心知识的凸显与教学。

以推理为例，其广泛应用于问题解决和规律探索的教学环节。在“综合与实践”领域，着力培养学生推理能力的课题，首属苏教版四下的《一亿有多大》。教材的编排突出了推理的思维和方法，让学生通过说一说、数一数、量一量、称一称等四个不同类型的实践活动，根据数100本练习本的时间、10枚1元硬币摞在一起的高度、100粒大米的质量来推测“一亿的大小”。可谓素材丰富、类型多样，可以让学生对“一亿”的认知丰富而立体，但正因为多样，分别从时间、长度和质量等维度来帮助学生建立“一亿”的大小概念，三者之间没有交叉与联系，也使得学生对这些知识的掌握显得过于独立，难有深度的认知和多维的建构。因此，教师教学时可以合理挑选一个活动环节来培养学生的推理能力。譬如，根据10枚1元硬币摞在一起大约高2厘米，让学生依次推算100枚、1000枚、10000枚、100000枚……100000000枚1元硬币摞在一起的高度，然后给予学生充足的时间来思考、交流200枚、3000枚、40000枚、500000枚等数量的1元硬币摞在一起的高度。而后隐去一些数量的高度，突出教材中这些数量的1元硬币摞在一起的高度（如图3），最后将这样的推理经验付诸其他活动的学习或问题的解决上。不难看出，这种补充教学环节的凸显式教学，在数量依次乘10或翻倍的过程中，学生可以根据数量变化准确地推算出高度的变化，减轻了推算的难度，积累了推理经验。在联系实际判断问题时，学生需要根据推算结果进行正确的判断，大大丰富了学生解决问题的方法。简化数量的过程，其实也是凸显核心数据的过程，是提升学生推理能力的过程。

（图3）

总之，数学起点型核心知识的教学应该着力于学生的知识生长、数学理解甚至素养形成而展开。教师通过采用凸显式教学方式来开放教学时空、增设教学环节、拉长教学过程等，有助于学生在掌握起点型核心知识的基础上，真正实现知识生长、思维进阶、能力发展和素养提升。