论题、论挫、论法、论道
——2022年高考全国乙卷理科第12题评析

安徽省濉溪县第二中学(235100) 丁正义 祝峰

研究试题,启示教学,是中学数学教师教研活动的形式之一.高考试题的探讨应在论题、论挫、论法的基础之上,深入至论道层面.论题聚焦问题的本质揭示;论挫集中分析试题难度,定位学生解题的思维挫点及挫因;论法则围绕探究自然、合理的问题解决方法开展;论道意在揭示知识本质,给出启发性、巩固性变式,总结一般观念,反思对高考备考的启示,体会试题对教学、特别是高考备考教学的引领性.下文以2022年高考全国乙卷理科第12 题为例,呈现论题、论挫、论法、论道的过程,旨在为高考试题的教研提供一个鲜活案例.

1 试题

题目(2022年高考全国乙卷理科第12 题)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7,若y=g(x)的图像关于直线x=2 对称,g(2)=4,则=( )

A.−21 B.−22 C.−23 D.−24

为行文方便,记

函数y=g(x)的图像关于直线x=2 对称,所以

2 论题

考查函数奇偶性、周期性、图像对称性,以及三者之间的内在关联.两函数f(x)、g(x)密切相关,图像均具有双对称性、均为周期函数,且相关复合函数具备奇偶性.在题设条件下,以下基本事实成立.

事实1 函数g(x)的图像关于直线x=2 对称

且以下五命题等价:g(x)的图像关于直线x=2 对称⇔g(2+x)为偶函数⇔g(2+x)=g(2−x)⇔g(2+x)图像关于y对称⇔g(x)=g(4−x).

事实2 函数g(x)图像关于点(3,6)中心对称

证明①中用x−4 替换x,得f(x−4)+g(6−x)=5,结合②得g(x)+g(6−x)=12.设P(x,g(x))为函数g(x)图像上任意一点,则其关于(3,6)点的对称点为P′(6−x,12−g(x)).注意到g(6−x)=12−g(x),所以点P′在函数g(x)图像上,所以函数g(x)图像关于点(3,6)中心对称.

进一步,以下五命题等价:函数g(x)图像关于点(3,6)中心对称⇔函数g(3+x)−6 为奇函数⇔g(3+x)+g(3−x)=12⇔g(x)=12−g(6−x)⇔函数g(3+x)−6 的图像关于原点对称.

(附:或者②中用x+4 替换x,得g(x+4)−f(x)=7,结合①得g(2−x)+g(x+4)=12,再用2−x换x,也可得g(x)+g(6−x)=12.)

事实3 函数g(x)是以4 为周期的函数

证法一注意到对称中心(3,6)关于对称轴x=2 的对称点(1,6),也是函数g(x)的对称中心.所以g(x)+g(2−x)=12,又g(x)=12−g(6−x),故g(2−x)=g(6−x),用2−x替换x得g(4+x)=g(x),即g(x)为周期函数,4 为其一个周期.

证法二注意到对称轴x=2 关于对称中心(3,6)的对称直线x=4,也是函数g(x)的对称轴.所以g(x)=g(8−x),又g(x)=g(4−x),所以g(8−x)=g(4−x),用4−x替换x得g(4+x)=g(x),即g(x)为周期函数,4 为其一个周期.

事实4 函数f(x)是偶函数

证明由①得f(x)=5−g(2−x),则f(−x)=5−g(2+x),结合③,得f(x)=f(−x),所以函数f(x)为偶函数.

事实5 函数f(x)图像关于点(−1,−1)中心对称

证明①中用2−x换x得f(2−x)+g(x)=5,结合②得f(2−x)+f(x−4)=−2,所以f(x)图像关于(−1,−1)中心对称.(证法同事实2,过程略)

事实6 函数f(x)为周期函数

T=4(结合事实4、5,证法同事实3,过程略)

3 论挫

3.1 难度

为了考查学生的创新意识和关键能力,以数学情境为载体.看似平淡无奇,但新颖、严肃、规范、工整的呈现方式,别致的问题情境,巧妙的设问,让学生在“尝鲜”中发挥自己的问题解决能力.这种独特的情境,对学生而言是陌生的.

从信息量看,两个函数、两个关系、一个性质、一个特值、一个和式、四个选项.量大、关系错综,隐蔽性、干扰性、迷惑性强,且内隐着重要的数学思想、解题策略和数学模型.

从运算和推理的角度看,问题解决过程中涉及的函数均为抽象函数,没有具体的解析式可用.运算和推理基本上都以符号进行,步骤多、思维量大、逻辑性强、指向性不明确,对考生心理的冲击力强.

从知识的关联性看,试题在函数奇偶性、周期性、图像的对称性、图像变换等,多个逻辑关系较强的知识交汇处命制,且设置在选择题压轴题的位置.这种综合性及特定位置,给学生的心理暗示是复杂、困难.

陌生的问题情境,冗杂的知识信息,繁琐的运算推理,多重的知识交汇,特定的压轴位置,这些因素共同促高了试题的客观难度.

3.2 挫点、挫因

(3)函数g(x)图像关于x=2 对称,不能顺利向事实1中的其它四个命题转化,这是知识缺陷导致.

(4)看待“元”、“方程”的视角狭窄,没有把f(x)+g(2−x)=5 及g(x)−f(x−4)=7 这两条件结合,消去其中一个,获得另一个函数性质表达式的意识,这是问题解决的一般观念薄弱导致.

(5)赋值法.考生基本上都具有这种观念和能力,但仅对变量赋常数有感觉,对诸如用x替换x−4 等这样,给变量赋变量的赋值问题,应用不够熟练.主要是对赋值的思维来源模糊导致,不能按需要恰当构造所需的抽象结构式.

4 论法

解法1(聚焦g(x),归纳得结果)由①得f(x)=5−g(2−x),结合③得f(x)=5−g(2+x),所以

把①中x换成x−4 得

结合②、④得

令x=2,代入⑤有g(2)+g(6−2)=12,所以g(4)=8;令x=3,代入⑤有g(3)+g(6−3)=12,所以g(3)=6;注意到y=g(x)的图像关于直线x=2 对称,所以g(0)=g(4)=8,g(1)=g(3)=6.

令x=1,代入⑤得g(5)=6.可见,g(1)=6,g(2)=4,g(3)=6,g(4)=8,g(5)=6,g(6)=4,···,g(k)的值呈现周期性变化,周期为4.所以

点评化归思想下,“g(x)图像关于直线x=2 对称,g(2)=4”均是函数g(x)的性质,所以想到借助①,把转化为问题转化为g(x)的问题,聚焦函数g(x),消元法思想和赋值法统领下,①、②结合得g(x)+g(6−x)=12.至此,函数g(x)具备两个性质、一个特值,按需要赋值,归纳推理下,发现其函数值呈周期性变化,获得结果.

上述解法,可从以下不同方向细微调整:

方向1g(x)+g(6−x)=12 获得的另一方式.x+4 替换②中的x得g(x+4)−f(x)=7,结合①得g(x+4)+g(2−x)=12.类似解法继续解下去即可.当然,只需用x−4 替换x即可获得g(x)+g(6−x)=12.

方向2归纳、猜想发现g(x)函数值呈周期性变化,获得结果是正确的.选择题这样解无可厚非,但逻辑上欠完整,为了更严密,可参考事实3,严格证明函数g(x)是周期为4 的函数.

解法2(聚焦f(x),归纳求解)

由①得f(x)=5−g(2−x),则f(−x)=5−g(2+x),结合③,得f(x)=f(−x),所以函数f(x)为偶函数.①中用2−x替换x,得f(2−x)+g(x)=5,结合②得

令x=3,由⑥得f(1)=−1;令x=2,由②得f(2)=−3;x=5,由⑥得f(3)=−1;令x=6,由⑥得f(4)=1;令x=7,由⑥得f(5)=−1,··· ,可见,f(x)函数值呈现周期性变化,T=4.所以

点评关键有三,一是把g(2−x)为偶函数转化为f(x)为偶函数,二是结合①②获得函数f(x)的性质表达式⑥,三是把g(2)=4 利用②转化为f(2)=−3.完成这三个转化后,问题只与函数f(x)有关,按需要赋值,发现周期性规律,即可解决问题.集中体现了化归思想和赋值法的应用.类比事实3,可严格证明函数f(x)是以4 为周期的函数.

解法3(特殊函数)注意到y=g(x)的图像关于直线x=2 对称,g(2)=4,令符合这两已知两条件.由①得

则

点评抽象函数问题中,可列举符合条件的具体函数,辅助理解问题,探究思路.客观题中甚至可以直接用这样的函数解决问题.瞄准函数y=g(x)的图像关于直线x=2 对称,g(2)=4 这两个特征,构造一个符合条件的函数并在此基础上用①求出进一步检验此函数也符合条件②.所以构造的函数符合题设中所有条件,是满足题设的其中一组函数,可以直接利用这两函数解决问题.

值得关注的是,所构造函数必须满足题设中所有条件,同时应清楚满足条件的函数不唯一.

5 论道

5.1 知识

奇偶性和周期性是函数重要的基本性质,在图像上均有直观体现.奇偶性、周期性定义的基础上,复合函数的奇偶性有以下常见规律.

f(x)为定义在R 上的函数,a,b∈R.

(1)关于偶函数,以下五句话等价

f(a+x)为偶函数⇔f(a+x)=f(a−x)⇔f(a+x)的图像关于y对称⇔f(x)的图像关于x=a对称⇔f(x)=f(2a−x).

(2)关于奇函数,以下五句话等价

f(a+x)−b为奇函数⇔f(a+x)+f(a−x)=2b⇔f(a+x)−b的图像关于原点对称⇔f(x)图像关于点(a,b)对称⇔f(x)=2b−f(2a−x).

(3)关于周期函数,有以下结论

①若f(a+x)=f(a−x),且f(b+x)=f(b−x),即函数f(x)图像有两条对称轴,则f(x)为周期函数,2(a−b)为其一个周期.

②若f(a+x)+f(a−x)=2m,且f(b+x)+f(b−x)=2n,(m,n∈R)即函数f(x)图像有两个对称轴中心,则f(x)为周期函数,2(a−b)为其一个周期.

③若f(a+x)=f(a−x),且f(b+x)+f(b−x)=2n,即函数f(x)图像有一条对称轴,一个对称轴中心,则f(x)为周期函数,4(a−b)为其一个周期.

上述结论,类比基本事实1、2、3 可证,不予赘述.

5.2 变式

变式1(不定项选择)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7,若y=g(x)的图像关于直线x=2 对称,g(2)=4,则( )

A.f(0)=1 B.g(1)=−6

C.f(−1)=f(7) D.g(−1)=g(2)

变式2已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7,g(2+x)为偶函数,g(2)=4,则=( )

A.−21 B.−22 C.−23 D.−24

变式3已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7,为偶函数,g(2)=4,则=( )

A.−21 B.−22 C.−23 D.−24

变式4已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2−x)=5,g(x)−f(x−4)=7,g(x)=g(4−x),g(2)=4,则=( )

A.−21 B.−22 C.−23 D.−24

变式5(2022年新高考I 卷第12 题)已知f(x)及其导数f′(x)的定义域均为R.记g(x)=f′(x).若g(2+x)均为偶函数,则( )

A.f(0)=0 B.

C.f(−1)=f(4) D.g(−1)=g(2)

变式6(2022年新高考Ⅱ卷第8 题)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x−y)=f(x)f(y),f(1)=1,则=( )

A.−3 B.−2 C.0 D.1

5.3 观念

巩固知识、深化理解、提高能力是解题教学的基本目的,教学中应超越具体问题所对应的知识、方法和技巧,上升到学生学科一般观念发展的层面.学科一般观念是指对数学学习和研究具有广泛、持久、深刻影响的基本数学思想方法和基本思维策略方法.[1]学科一般观念直观、简明、易懂但难深入;它们在问题解决中具有统摄性、一般性和普适性.这道试题探究和解决的过程,至少体现以下一般观念.

聚焦关键复杂问题解决过程中,何为关键所在? 何为次要因素? 这道试题要求性质的发现是关键;而结合条件①,得f(x)=5−g(2+x),所以

此时,关键在函数g(x)性质的发现.排除干扰因素,聚焦问题的主要方面,抓住关键所在,是一种重要的问题解决能力,是问题解决中所需的一种基本观念.

转化与化归问题的求解中,一种形式转化为另一种形式不是无聊的游戏,而是问题解决的杠杆,没有它,难能走远、走深.面对问题,应从运动、变化、联系、发展的视角认识才能发现本质所在,而构建联系,触及本源的最有效手段就是转化与化归,即不断地寻求关联,改变形式.把转化为、把g(x)图像关于x=2 对称转化为g(2+x)=g(2−x)、把题设中性质的混合表达式①②转化为g(x)+g(6−x)=12 等等,这些转化是问题得以解决的最有效思维元素.

消元解题中,常称一些对象为“元”.方程、代数式、函数中,把具有固定结构的可变对象视为一个“元”,如一元二次方程、二元代数式、多元函数即是基于这种认识所赋予的称谓.[2]应多视角认识和构造“元”,否则会影响问题求解的灵活性、速度和正答率.试题求解中,对于条件①②,可把f(x)、g(x)视为两个“元”.若把转化为则需消去f(x),得g(x)的性质表达式;若直接求解则需消去g(x),得f(x)的性质表达式.这种“消元”的观念,在问题的解决的过程具有重要的导向作用.

赋值抽象函数问题解决过程中,赋值法特别关键.“对称赋值”和“按需要赋值”是常用的两种赋值基本技巧.“对称赋值”一般用在与奇偶函数相关的问题中,本题解答中主要是“按需要赋值”.如解法1 中把①中x换成x−4,是结合②消去f(x−4)使然,令x=2,代入⑤有g(2)+g(6−2)=12,是想知道g(2)=4 能获得什么? 等等,均是在“按需要”赋值观念下的获得的思维灵感.

5.4 启示

高考试题除选拔功能外,更重要的是对教学的引领作用,备考过程中,高考试题是重要育人资源.高考试题的解题教学,应在“论题”、“论挫”“论法”基础上,上升到“论道”层面.

首先,反对大量“刷题”.无论是从本题看,还是从今年全国卷的六套试卷看,试题均灵活多变.低效率的大量刷题,搞“地毯式轰炸”,通过刺激—反应训练形成的“条件反射”,会使数学的思维属性丧失殆尽,与智慧、思维能力没有太多关系.

其次,辩证地看待“题型”.对试题适当的分类与辨识是值得肯定的,但教学中应注意防止题型的“泛化”,以及对于“机械记忆与简单模仿”的不恰当强调.[3]“少而精”是题型选择和归纳的基本原则;“变式训练”是题型深化理解、技能有效提升的有效手段,能够很好实现“讲一题,通一类,得一法”;还应引导学生从不同角度进行分析和思考,以及更高层次的综合,抓住重点,以主带次,提质升效.

再次,杜绝解题活动算法化、程序化.数学问题的多样性和复杂性,思维活动又常表现出的非逻辑性(很多时候是灵感或顿悟),所以实际上解题活动常具有或然性和个体性.通过典型高考试题的解题训练,提升学生的辨识能力,很好地掌握相应的“解法”,并进一步凝练出解题策略、体会数学思想方法,从而在遇到困难时能够获得一定的启示.当然,仅有这些还是不够,我们应该由具体问题所体现的数学思想方法和解题策略,转向一般性思维策略与思维品质的提升.也就是要超越具体的知识(起码教师要具备这种意识),逐步引导学生通过数学解题逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考,努力提升学生思维的整体性与灵活性、自觉性与创造性.[4]

最后,应帮助学生提升“题后反思”的自觉性.引导学生理解为什么应当积极从事“解题活动”? 解题实践中应特别重视哪些方面或问题? 实际上“题后反思”是解题活动成功与否的一个重要因素.通过题后反思学生才能够获得包括“发现的眼光、洞察本质的智慧、数学分析和解决问题的思想方法”[5]在内的学科一般观念.这些“观念”层面的东西,不仅对获得数学知识的实质性理解、落实“四基”“四能”很重要,对转变教的方式、学的方式也很重要,更是发展学生数学学科核心素养的沃土.