抛物线焦点弦的又一推论及应用

四川省绵阳第一中学(621000) 吴博 欧侦侦

在抛物线问题中,焦点弦的定比分点问题一直都是高频考点,也是实际教学过程中的难点,如何让学生顺利解决该问题成为了众多一线数学教师头疼的问题.作者查询了诸多资料之后,发现有关该问题的资料十分匮乏,为数不多的几个结论又显得繁杂,不利于学生掌握.经笔者深入探究,终有所获,就此成文,以飨读者.

一、结论的陈述证明

性质已知抛物线y2=2px(p >0)的焦点为F,过F且倾斜角为θ(0)的直线l交抛物线于A,B两点(A在x轴上方,B在x轴下方),设,则cosθ=2t−1.

证明设A(x1,y1),B(x2,y2),记l:,将其与抛物线方程联立得到y2−2pmy−p2=0,故

二、推广

使用上文性质中的记号,易得如下推论:

推论1焦半径.

推论2焦点弦长.

推论3.

三、应用

例1过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则该直线的倾斜角为____,弦长|AB|=____.

解析因为不知道A,B的具体位置,故存在两种情况,得则则倾斜角或,弦长.

例2过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,若|AF|=3,则三角形AOB的面积为____.

解析由.