巧用切线法妙证不等式

江西省九江市第三中学(332000) 卢恩良

1 模型总结

问题模型对于x1,x2,x3,···,xn∈D,有k(≥k,≤k),证明:.

解法归纳令设函数f(x)在处的切线为y=kx+b.根据函数的凹凸性,确定f(x)≤kx+b(或f(x)≥kx+b)在区间D上恒成立,再证的成立.

2 模型应用

类型一 直接套用模型

例1若a≥0,b≥0,c≥0,a+b+c=1,求证:.

简析设因为所以f(x)在处切线方程为因为在x∈[0,1]上恒成立,所以f(x)在区间[0,1]上是上凸函数,对x∈[0,1]恒成立.因为a,b,c∈[0,1],所以即成立.

评注本题属于问题模型的标准形式,主要是熟悉模型,掌握方法.由待证结论中各项结构特点,构造相应函数,再根据二阶导函数的符号,判断函数凹凸性,从而得出切线不等式,最后三式相加证得结论.

类型二 变形后构造模型

例2(2004年新加坡国家队选拔试题)已知a,b,c∈(0,1),且ab+bc+ac=1,求证:.

有些人不解：为什么要费那么多时间和精力，去复原没有多少实穿价值的服装？楚艳说：“这不仅仅是一件衣服，更是拾起了千百年的文化自信，弥补了断层的文化残缺。将每一个细节做到极致，不仅是对人和衣服最基本的尊敬，更是对衣服背后所承载文化的虔诚与敬畏！”

简析设函数因为所以f(x)在.因为f′′(x)=处切线方程为在x∈(0,1)上恒成立,所以f(x)在区间对x∈(0,1)恒成立.因为a,b,c∈(0,1),所以(0,1)上是下凸函数,

因为a2+b2+c2≥ab+bc+ac,所以(a+b+c)2≥3(ab+bc+ac),得,即成立.

评注本题中条件不符合模型中单变量求和的形式,需要将条件ab+bc+ac=1 推理得到转化到问题模型的标准形式再进行证明.运用切线法证明不等式时,需要注意模型中的条件与待证不等式均是单变量的和.

同类题目[3]设正实数x,y,z满足yz+zx+xy=1,求证:.

类型三 换元后构造模型

例3已知a,b,c是正数,a+b+c≤abc,求证.

简析由a+b+c≤abc得则x,y,z均为正数,且x+y+z <1.设.因为,所以f(x)在处切线方程为.因为f′′(x)<0 在x∈(0,1)上恒成立,f(x)在区间(0,1)上是上凸函数,f(x)≤对x∈(0,1)恒成立.因为x,y,z∈(0,1),所以,即.

评注本题条件和待证不等式都不属于模型中单变量和的形式,因此破解问题关键是通过换元手段将条件和待证不等式化为单变量和的形式.

例4(数学通讯问题征解514)已知a,b,c是正数,求证:.

分析将不等式化为

左边各项分子分母同除以(a+b+c)3,化为

已知x,y,z是正数,且x+y+z=1,求证:.

证明设则f′(x)=容易求得f(x)在处的切线为y=因为在x∈(0,1)上恒成立,所以f(x)在区间(0,1)上是下凸函数,因此在x∈(0,1)恒成立.根据题意知x,y,z∈(0,1),所以成立.即得证.

评注本题中没有出现模型中的条件k(≥k,≤k),待证不等式也不属于单变量求和形式.因此,破解问题关键在于巧妙变形,然后换元后转化到问题模型的标准形式.

同类题目已知a,b,c均为正数且互不相等,求证:.

提示将待证不等式化为

类型四 放缩后构造模型

例5已知a,b,c是三角形的三边,求证:

分析将待证问题化为

由基本不等式知,

令

则问题可化为:

已知x,y,z是正数,x+y+z=3,任意两数之和大于另一数,求证:.

证明设则.因为f(1)=1,f′(1)=1,所以f(x)在x=1 处切线方程为y=x.因为在上恒成立,所以f(x)在区间上是下凸函数,因此f(x)≥x对上恒成立.

因为x,y,z是正数,x+y+z=3,且任意两数之和大于另一数,所以x+y+z=3 成立.

综上所述,待证不等式成立.

评注本题不属于问题模型中的类型,是无条件不等式的证明.通过先放缩的方法,将待证不等式放缩到符合问题模型的结构,再巧妙换元,把无条件不等式化为问题模型中的条件不等式.此处需要注意原题中“a,b,c是三角形的三边”这个条件,结合任意两边之和大于第三边,得出.

3 小结

运用切线法证明符合上文模型的不等式时,需要注意条件与待证不等式均为单变量和的形式.当发现条件或待证不等式形式不符合时,需要合理进行变换.尤其是在证明无条件不等式时,如何变形与换元更是具有极高的技巧,将其化成模型中的形式后可尝试采用切线法进行证明.最后需要注意的是,切线法仅是解决此类不等式的一种方法,不是唯一的方法,也不是一定有效的方法.