活用“1”之“妙笔”巧绘“齐次”之美
——齐次化在2022年高考试题中的应用例析

江苏省天一中学(214101) 安恺凯

江苏省前黄高级中学(213172) 周大勇

英国著名数学家哈代说:“不美的数学在世界上是找不到永久容身之地的”,在一个多项式或分式中,各个单项式的次数都相同的式子通常被称为齐次式,由于齐次式各项的次数相同,其结构特征别具简洁美、对称美、规律美,这份美弥漫在2022年高考的多份试卷中和多个模块内容中.但齐次式的美往往被淹没在形式演绎的海洋里,需要借用“‘1’的代换”这支“妙笔”,才能描绘构建出问题中齐次式的美来,从而促使问题化难为易,化繁为简,达到运用智慧优化解题的效果.以下笔者结合2022年高考中的具体实例,与读者一起来赏析齐次式的独特魅力和自然数“1”的独具妙用.

1 齐次化在不等式中的应用

例1(2022年全国新高考Ⅱ卷第12 题)若x,y满足x2+y2−xy=1,则( )

A.x+y≤1 B.x+y≥−2 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1

解析当x,y中仅有一个为0 时,x2+y2=1.当x,y都不为0 时,

若x,y同号,则从而1

评注注意到C、D 选项中要求一个齐二次整式的取值范围,而题目条件恰巧给出了另一个值为“1”的齐二次整式,“齐次化”呼之欲出,可分前后两步实施,第一步先将选项中的齐二次整式除以“1”,再将“1”代换为条件中的齐二次整式,自然构建出齐二次分式.第二步在齐二次分式中构建出齐次分式以达到符合基本不等式的使用条件,从而实现问题的解决.对于A、B 选项中的齐一次整式,则不能直接除“1”,这也是实施齐次化需要注意的一点,分子分母次数要一致,故可通过平方先化为齐二次整式,再施以同样的齐次变换得以圆满解答.

例2(2022年高考全国甲卷(理科)第23 题)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明:

(1)a+b+2c≤3;(2)若b=2c,则.

解析(1)由三元柯西不等式,可得(a+b+2c)2≤3[a2+b2+(2c)2]=9,所以a+b+2c≤3,当且仅当a=b=2c=1 时等号成立.

(2)(解法1)由0

当且仅当a=2c=1 时等号成立.

(解法2)由a2+b2+4c2=3 及b=2c,得a2+8c2=3,即.因为a,c均为正数,所以要证即证即证即证a4+2a3c−18a2c2+16ac3+8c4≥0.因为a4+2a3c−18a2c2+16ac3+8c4=(a2+6ac+2c2)(a−2c)2≥0,所以.

评注本题第一问可用柯西不等式直接证明,柯西不等式作为高考阶段中的重要不等式,本身就是齐次不等式,让人有和谐对称之感.第二问的解法1 运用“1”来进行不等放缩,巧妙地找到了利用基本不等式的解题途径.解法2 则运用“1”来进行恒等变形,最后转化为证明一个齐四次整式非负,虽不具运算优势,但也称得上别具匠心.

2 齐次化在三角函数中的应用

例3(2022年高考浙江卷第13 题)若3 sinα−sinβ=,则sinα=____,cos 2β=____.

解析(解法1)因为,所以

平方得9sin2α−6 sinαcosα+cos2α=10=10(sin2α+cos2α),整理得(sinα+3 cosα)2=0,即

(解法2)由解法1 中的②式可得tanα=−3,从而.所以

评注解法1 通过对条件中的数式平方后,由“1 的代换”化得齐二次完全平方式,其本源是同角三角函数的平方关系式:1=sin2α+cos2α.解法2 则在解法1 的基础上,运用三角恒等变形中的重要变形技巧——弦切互化,实现三角函数名的“减名增效”,其本源是同角三角函数的商数关系式:,其本身亦是齐次化思想的体现.同角三角函数的平方关系式与商数关系式可以说是三角函数问题中齐次化实施的独有“妙笔”,但在其它模块内容的问题中,若题目条件中出现数式平方和恒为1的形式,亦可考虑引入三角函数,进行三角换元,使得三角函数中的齐次化关系式亦能在其它模块内容的问题中“妙笔生花”,以下便是一个具体实例.

3 齐次化在解析几何中的应用

例4(2022年上海春季高考卷第20 题)已知椭圆Γ:A、B两点分别为Γ 的左顶点、下顶点,C、D两点均在直线l:x=a上,且C在第一象限.

(1)略;(2)略;

(3)设直线BC、AD分别交椭圆Γ 于点P、Q,若P、Q关于原点对称,求|CD|的最小值.

解析根据椭圆方程,可设P(acosθ,sinθ),Q(−acosθ,−sinθ),且可知点P在第一象限,即.因为A(−a,0),B(0,−1),所以直线BP的方程为y=,直线AQ的方程为从而可得所以

评注本题解析中一共先后实施了四次齐次变换,一为结合椭圆方程平方和为1 的结构特征,自然地联想到引入三角元素,把解析几何问题合理转化为相应的三角函数问题:二为在转化后的三角函数表达式中,利用二倍角公式,将非齐次分式转化为齐二次分式:三为对转化后的齐二次分式化弦为切,转化为单变量函数:四为根据单变量函数中两个分式的分母和为1 的特征,巧乘“1”配凑出基本不等式从而求得最值.齐次化在本题中的精彩演绎可谓四美其美,美美与共.

例5(2022年全国新高考Ⅰ卷第21 题)已知点A(2,1)在双曲线C:上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.

(1)求l的斜率;(2)略.

解析因为直线l不过点A(2,1),所以可设直线l的方程为

易得a2=2,双曲线C的方程可等价为

由①②得

即

③式两边同除以(x−2)2,得

评注本题属于解析几何中典型的动直线定向问题,通过齐次化法解答有两个关键:一是根据直线l的设定,不过点(x0,y0),可设直线方程为m(x−x0)+n(y−y0)=1;二是将曲线方程变形为关于x−x0,y−y0的形式,然后巧妙地借助所设直线方程实施齐次化,把两直线斜率之和问题转化为关于斜率的二次方程的根与系数的关系求解.这种解法通过重构曲线方程和巧设直线方程,进一步整合了代数与几何的关系,“齐次化”为简化运算找到了出路.

4 齐次化在函数导数中的应用

例6(2022年高考全国甲卷(理科)第21 题)已知函数.

(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;

(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1.

解析(1)a≤e+1,过程从略.

(2)由(1)可知,若f(x)有两个零点,则a >e+1,且两个零点在极小值点x=1 两侧,不妨设0

评注本题以重要不等式——对数平均不等式为背景,考查了导数在研究函数中的综合运用.首先由同构思想通过重构函数,化简求得“1”恰为x1与x2这两个变量的对数均值.其次证明对数均值不等式的关键是将成立,从而原不等式化为,右边是一个齐一次分式,再通过化为用表示的不等式后,要构造的辅助函数便显露无疑.值得注意的是,在近几年的各类考试中,以对数平均不等式为背景的试题屡见不鲜,且常考常新,以下便又是一例.

例7(2022年全国新高考Ⅱ卷第22 题)已知函数f(x)=xeax−ex.

(1)略;(2)略;(3)设n∈N∗,证明:

解析同例6 解析,先可证得不等式

(其中n∈N∗),即.再用替换k,可得所以

评注本题通过巧添“1”转化视角,将原根式转化为几何均值,再利用对数均值不等式得到放缩所需的不等式,整个不等式链的放缩过程显得恰如其分,丝丝入扣,令人回味无穷.

对于2022年高考的几份试卷,多种渠道都反馈出学生具有普遍的不适应性.随着新课改的逐渐深入与成熟,高考试题呈现出“形式设计新”和“思维含量高”的典型特征,尤其注重对学生思维灵活性与创新性的考查,即考查学生转化与化归的思想,具体体现便是学生合理变化问题的能力.一般来说,解题始于对题目所给条件的利用与变换,有效的变换是解题成功的关键.因而,教学生合理地变换条件是数学解题教学的重要任务.通常来说,对一个条件进行变换的方法多种多样,变得恰当能使问题迎刃而解,变得不当则会使解题陷入“无从入手应对”的“窘境”,或掉入“粗暴粗浅运算”的“困境”,而“齐次化”是转化与化归思想的一种具体实践,是合理变化问题的一种特征方式,只要教师在平时教学中具有引导学生感悟齐次之美的意识与观念,教学中的高质量思维活动就可能随时随地发生,学生合理变换问题的能力便会有显著提升,从而更好适应新高考带来的变化.