探究圆锥曲线中一组斜率乘积定值

四川省名山中学(625100) 高继浩

广东省中山市桂山中学(528463) 余铁青

一、提出问题

题目(贵州名校联盟2021-2022 学年度高二下期期末联考)已知椭圆C:过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设A是椭圆的左顶点,过右焦点F的直线l1,与椭圆交于P,Q,直线AP,AQ与直线l2:x=4 交于M,N,线段MN的中点为E,求证:EF⊥PQ.

易得试题第(1)问椭圆C的标准方程为试题第(2)问中直线l2恰好是椭圆的右准线,这是否具有一般性? 若将右焦点变为x轴上其它点,直线l2变为其平行线,直线EF和PQ又有怎样的关系? 将左顶点变为其它顶点,结果又如何?

将试题第(2)问一般化得到:

命题1设A是椭圆的左顶点,过椭圆右焦点F(c,0)的直线与椭圆交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与直线

二、拓展探究

交于M,N两点,线段MN的中点为E,则EF⊥PQ.

上述命题中,当直线PQ的斜率不存在时,垂直关系显然;当直线PQ的斜率存在时,意味着直线EF和PQ的斜率之积为−1.这使笔者自然地思考:若将右焦点变为x轴上其它点,两线斜率之积是否为定值? 于是探究得到:

命题2设A是椭圆的左顶点,过点T(m,0)()的直线与椭圆交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与直线交于M,N两点,线段MN的中点为E,直线ET,PQ的斜率分别为k1,k2,则.

命题3设A是椭圆的左顶点,过点T(m,0)()的直线与椭圆交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与直线x=n()交于M,N两点,线段MN的中点为E,直线ET,PQ的斜率分别为k1,k2,则.

证明设直线PQ的方程为x=ty+m(0),与椭圆方程联立,消去x得

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

直线AP的方程为令x=n得,同理得,故

注记1若将命题3 中的左顶点改为右顶点,则类似地,若将命题3 中的点T(m,0)()改为点T(0,m)(),直线x=n()改为直线y=n(),则当A是下顶点时,当A是上顶点时,k1k2=.

三、类比探究

命题4设A是双曲线的左顶点,过点T(m,0)()的直线与双曲线交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与直线x=n()交于M,N两点,线段MN的中点为E,直线ET,PQ的斜率分别为k1,k2,则.

注记2若将命题4 中的左顶点改为右顶点,则.

命题5设O是抛物线y2=2px(p>0)的顶点,过点T(m,0)(0)的直线与抛物线交于P,Q两点,直线OP,OQ分别与直线x=n()交于M,N两点,线段MN的中点为E,直线ET,PQ的斜率分别为k1,k2,则.

证明设直线PQ的方程为x=ty+m(0),与抛物线方程联立,消去x得y2−2pty−2pm=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=2pt,y1y2=−2pm.直线OP的方程为令x=n得同理故