对三个指数方程求解的质疑

442001 湖北省十堰市东风高中甘志国工作室 甘志国

对三个指数方程求解的质疑

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求解底数与指数均有未知数的方程是有较大难度的，笔者发现一些文献求解这类方程时仅限于猜出答案，也没有注意定义域问题，所以解答不严谨.本文将分析这样的三道题目.

题1 (见专著［1］第66页的第2题)(指数方程)试解方程：xx2-1=3.(提出人：广东大埔高陂方丁)

下面再给出题1的推广问题的若干结论.

定理2 若a是已知的正实数，则方程xx2-1=a(x＞0)的全部解是：

(1)当0＜a＜1 时，无解;

(2)当a=1时，解集是{1};

问题 请读者找出方程xx2-1=a(x∈R)有四个解的例子.

题2 (一团漆黑)试解方程xx=x.

这里面连一个已知数都没有，不是一团漆黑吗?

该书第204页给出的解答是：

用两端取对数的方法来解这个方程

xlgx=lgx，(x-1)lgx=0，

所以x=1，

经检验知x=1是原方程的根.

奇怪的是x=-1也是原方程的根，可是它不能通过解方程的正常途径而得到.

(见专著［2］第160页)

该解答体现了趣味性，但不是完整的解答.

文献［3］用较长篇幅求出了方程xx=x的所有实数解只有两个：x=±1.专著［4］也给出了该方程所有实数解的简洁求法，下面再给出两种简解(只须再求x＜0的解)：

再由已得的结论方程 tt=t的正数解是 t=1，得-x=1，x=-1.

题3 (解指数方程组)试解联立方程式：x+y=5，xy+yx=17.(提出人：杨擎天)

解 由第一式得出y=5-x，代入第二式就有x5-x+(5-x)x=17.

令s=x5-x+(5-x)x，当x，y都只允许取实数的时候，要s的值等于17，就可以看出x与y都是有界的.如果把x=8代入s的表示式就有s＞17，这就表明x只能小于8才可能满足所给的两个方程.

又因为x与y互换，原方程式是不变的，经过试验可以得出x=2，y=3与x=3，y=2是原方程组的2解.

(见专著［1］第2页的第2题)

对于题2，其解答有以下不严谨之处：

(1)看不出x与y都是有界的.

设s(x)=x5-x+(5-x)x，由s(8)＞17不易得出“s(x)＜s(8)⇒x＜8”，因为不易证得函数 s(x)在x＜8时是增函数(事实上，s(6)＞s(7)).

(2)由“x与y互换原方程式是不变的”，只能得到“若(x，y)=(x0，y0)是原方程组的一组解，则(x，y)=(y0，x0)也是原方程组的一组解”，但难以得出原方程组的所有实数解是(x，y)=(2，3)，(3，2).

笔者认为，完整解答此题是有难度的.

1 刘培杰主编.400个中国最佳初等数学征解老问题［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009

2 谈祥柏，杨京玉.趣味代数300题［M］.北京：中国青年出版社，1998

3 芝原，赵慈庚主编.指数方程xx=x的解法.初等数学研究［C］.北京：北京师范大学出版社，1990

4 甘志国著.初等数学研究(I)［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008

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