巧裂项求数列的和 妙放缩证明不等式——浅谈一类高考数列不等式问题的求解策略

510900 广东省广州市从化中学 杨仁宽

巧裂项求数列的和 妙放缩证明不等式
——浅谈一类高考数列不等式问题的求解策略

510900 广东省广州市从化中学 杨仁宽

1 缘起

在新课程人教A版数学选修2-2中，有这样的例题与习题：

这类问题的求解，可以采用“裂项求和”法，由于裂项变形时能较好地考查数学技能技巧，而成为高考命题的重要切入点.尤其是与不等式相关联，更是成为高考命题的亮点!本文结合近年高考题或模拟题，例析这类问题求解的主要思路与策略.

2 求解的主要思路与策略

2.1 借分式性质裂项，适当放缩证明不等式

点评 本题求解的关键，在于利用分式的性质，把bn分裂成两项之差，以利于求和!再看下例.

(1)求 a1，d 和 Tn;

(2)若对于任意的 n∈N+，不等式 λTn＜n+(-1)n8恒成立，求实数λ的取值范围;

(3)是否存在正整数 m，n(1＜m＜n)，使得 T1，Tm，Tn成等比数列?若存在，求出所有m，n的值;若不存在，请说明理由.

当且仅当 m=2，n=12 时，数列{Tn}中的 T1，Tm，Tn成等比数列.

点评 本题考查了等差、等比数列的概念及性质，求解的关键，是借助于分数的性质对bn作恒等变形而裂项，进而求得Tn的表达式.

类似地，有2011年天津文科和理科压轴题、2008年江西理科第18题，以及下例.例3 (2010年湖南文科压轴题)给出下面的数表序列：

其中表 n(n=1，2，3，…)有 n行，第1行的 n个数是1，3，5，…，2n-1，从第 2 行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.

(1)写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明);

它的第 1，2，3，4 行中各数的平均数分别为 4，8，16，32，它们组成首项为4、公比为2的等比数列.

将此结论推广到表n(n≥3)，有下列结论：

表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成以n为首项、2为公比的等比数列.

(2) 因为表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成以n为首项、2为公比的等比数列，所以第k行中各数的平均数为n×2k-1，于是表n中最后一行的一个数为bn=n×2n-1.

2.2 借根式的性质裂项，适当放缩证明不等式

例4 (2011年湖南十二校联考题)已知a为正常数，在曲线Cn：y=上的一点 Pn(xn，yn)处的切线 Ln总经过定点(-a，0)(n∈N*);

(1)求证：点列 P1，P2，…，Pn，…在同一直线上;

点评 此例求解的关键，在于对bn恒等变形，借助根式的性质而裂项求和，进而将“不等式恒成立”问题化归并转化为求离散函数的最小值问题.

2.3 借对数性质裂项，适当放缩证明不等式

点评 上述证明的关键，是仔细观察结构特点，适当构造对数函数，巧妙赋以变量之值，借助对数运算性质而裂项!求和之后的适度放缩，已是水到渠成了!

1 杨仁宽.创设新颖情境，体现课标理念，考查探究能力［J］.中学数学，2010，8

2 杨仁宽.继承优良传统，探索命题创新——2011年广东高考数学试卷评析［J］.高中数理化，2011，7(下)

3 周伟忠.数列不等式证明方法比较［J］.中学数学，2008，4

20110726)