精心设置问题串 意义建构结论

●王华民 朱光伟 (无锡市立人高中数学名师工作室 江苏无锡 214161)

高中新教材(人教版)主编章建跃先生归纳了我国数学教学存在的几个主要问题：(1)数学教学不自然、强加于人，对学生数学学习的兴趣与内部动机产生不利影响;(2)缺乏问题意识，不利于学生创新精神和实践能力的培养;(3)重结果，轻过程……反思中学数学课堂，能否在淡化应试、注重培养思维能力方面打好基础呢?

数学新授课中关于公式、法则、定理、推论一类的教学，不妨称之为结论教学.目前在结论教学中，不少教师重结论的应用，轻结论的形成，弱化了学生的思维训练.但从本质上看，数学教学是思维活动的教学，而数学思维活动又集中表现为提出问题和解决问题的过程.如何选择切入点?近几年的教学实践表明，在结论的导入环节设置“问题”，以问题驱动，激活学生的思维，这或许是改变章建跃先生前3个问题的有效途径.

1 通过联系旧知，用问题串导入，使学生在愤、悱状态下学习结论

为了充分暴露学生的数学思维过程，应该把促使数学发现活动起动的初始问题选为教学的起点.一般而言，新知的学习往往是在旧知的基础上进行的，可以把新知与旧知的联结点设为初始问题，创设某种问题情境，使学生进入愤、悱的状态，为学生的思维活动提供一个好的切入口.因此，从某种意义上说，设计好初始问题，也就从根本上设计好了一节课.

案例1 高中数学必修4“同角三角函数的关系”的教学导入

(学生思考，回答.)

(3)sinα 与 cosα 有什么关系?tanα 与 sinα，cosα又有什么关系?

(学生思考.)

说明 该方案用问题串导入，让学生尝试解决.问题(1)是从学生最熟悉的特殊角30°入手，让学生在联想旧知后，得到α=30°;问题(2)设置了疑惑点，在一所三星级高中的班上有少数“尖子”能说出不存在，因为1，4，5不能构成三角形的3条边，这些学生对直角三角形的勾股数很熟悉;问题(3)是问题(1)和问题(2)的一般情形，点出本课的主题，学生带着疑惑“到底是怎样的关系”进入愤、悱状态，急于想知道谜底，故产生了学习的动力.再来回顾旧知——任意角三角函数的定义，经过观察发现：可以通过平方解决.

对结论教学的导入，是从问题导入(如案例1)还是从复习旧知导入，或是从多铺垫导入，主要的差别在于思维含量.在新旧知识的联结点上设计问题串，要考虑学生的认知水平，在最近发展区内着力发掘.

2 通过联系实际，用问题串导入，激发学生探索结论的兴趣和热情

数学来源于生活.在教学活动中，如果能根据结论的特点，联系生活实际，从生活中挖掘、提炼素材，寻求激趣元素，用问题串导入，那么便可以激发学生的探索兴趣，而学习兴趣对于提升学生思维和提高教学质量是非常重要的.另外，从某些课堂反馈：学生被动地跟着教师回答这个、操作那个，其实是在一种盲目的状态下学习，目标不清，其效率自然低下.该如何改变呢?可以尝试在学习结论前，围绕“为什么要学习结论”设计问题串，让学生理解学习结论的必要性，从而进入自觉学习状态.

案例2 选修2-3中1.5节“二项式定理”的导入

教材与学情分析教材是从学生熟悉的(a+b)2的展开式以及(a+b)3，(a+b)4的展开式，提出问题：你能写出(a+b)n(n∈N*)的展开式吗?研究的目标比较明确.可见，新教材已经关注了问题引入，但显得较为简约.“用教材教”促使我们思考，能否针对这一目标提出一个学生熟悉的实际问题，让他们在问题情境中去探索和交流呢?

问题1 今天是星期三，那么过820天后的那一天是星期几?

让学生先独立思考或展开相互交流、讨论，再请代表回答.可能会出现以下几种思路：(1)使用计算器，但一般计算器难以表达这个天文数字;(2)借助计算机，但需设计程序;(3)因为一个星期7天，所以只要看这个数被7除余几.

经过简单讨论后，大家达成共识：不一定要求出该天文数字，只要将它转化成被7除余几的数学问题即可.由820=(7+1)20可以猜想：被7除的余数为多少呢?

学生凭直觉，可能是1，但不知道结论是否正确.

问题2 我们一起来研究二项式(a+b)n的展开式，看它如何构成?(略停片刻)

问题3 面对一个一般情形的困难问题，将如何处理呢?

生：特殊化，从特殊到一般.

师：好!我们就从n=2开始吧，观察(a+b)2，(a+b)3的展开式：

让学生找出每一项的构成，并归纳出各项字母与系数的特征……

解决起始问题，前后呼应.

说明 问题1是学生熟悉的问题情境：一方面能激发学生探索的欲望和兴趣;另一方面，该问题具有一定的挑战性，学生一时又难以解答，他们带着悬念和期盼投入探索之中.问题2是为了明确本堂课的教学目标.问题3可促使学生思考解决问题的常用方法，这是从问题解决的需要及方法论的角度精心设计的一组问题串.

3 通过实验操作，用问题串导入，使学生在认知冲突中体验结论的形成过程

数学实验操作包括动手画图、裁剪、计算、媒体演示等.在教学预设中，应根据结论的特点，安排学生进行实验操作，从中提炼并形成问题串，这是学习、获取结论的重要手段.

案例3 “直线与平面垂直的判断定理”的导入

教材与学情分析在学习线面垂直的判断定理之前，学生已学习了线面垂直的定义，因此线面垂直的判定定理就不是本课的一个初始问题，而是有待进一步研究的问题.对于该定理，苏教版教材采用的是操作确认：用一张矩形纸片对折后展开并竖立在桌面上，观察到折痕与桌面垂直;再用旗杆从2个不同的方向进行验证，得到判定定理.学生能理解，但其思维要求较低，可考虑设置问题串.

问题1 如图1所示，一根旗杆与地面垂直，如何进行检验?

说明 该问题是为了回答学生的疑问“为什么有了定义还要研究判定”而设置的过渡问题.学生思考后感到用定义检验不方便，那么用什么办法呢?教师巧妙设置了思维障碍，让学生经历思维上的挫折，引发认知冲突，促使学生积极探索判定方法，思考的方向是将平面内的直线条数从“无限”转化为“有限”.教师接着问：在地面上至少需要几条?1条?2条?这2条是否平行?学生有不同观点在碰撞……

图1

图2

考虑到初中学生已经有大量的折纸操作，因此可设置实验操作情境：请大家拿出准备好的三角形纸片，一起做实验.如图2，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).

问题2 折痕AD与桌面垂直吗?如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直?

说明 通过折纸活动让学生发现，当且仅当折痕是BC边的高时，所在直线AD与桌面所在平面α垂直，如图3所示.让学生沿点A进行各种翻折，充分观察、思考与讨论，教师参与其中.

图3

图4

问题3 (反面思考)当折痕AD与BC不垂直时，绕AD无论怎样翻折，翻折后始终与桌面所在平面α不垂直吗?为什么?

说明 判定一条直线与一个平面不垂直，只要该直线与平面内的一条直线不垂直即可，这是回归定义的分析.

问题4 如图4，当折痕AD⊥BC时，绕AD无论怎样翻折，翻折之后的垂直关系AD⊥BD，AD⊥CD是否发生变化?由此能得到什么结论?

学生感到垂直关系是不变的.这样，直线与平面垂直的判定定理就呼之欲出了!

说明 高中新课标强调立体几何教学中用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的方法认识和探索几何图形及其性质.但怎样操作既能归纳出判定定理，又不降低学生的思维要求呢?本课充分利用教材中的折纸实验素材，给学生提供多次操作的机会，通过问题串引导、观察、操作，不仅从正面验证，也从反面说明，让学生在认知冲突和操作中体验结论的形成过程，理解会更深刻，效果会更突出.

4 根据学生的差异，用不同层次问题串导入，使学生在结论的探索过程中思维得到有效训练

因不同层次的学生在接受、解决问题方面存在差异性，教师要考虑设计一些差异性的问题，包括问题的起点、问题的深浅等.

案例4 必修1“函数的零点”存在定理

在学习了“零点”的概念之后，将学习“函数零点存在定理”.如果仅仅是介绍该定理，只需3～4分钟，之后安排大量的变式训练.这样，虽然学生当堂接受没有问题，但对于此定理的印象不深、迁移运用不畅，达不到“发展学生思维”的目的.面对不同层次的学生，可以设置不同的问题串导入.

对于层次较高的班级学生，可设置以下问题串：

总问题 如何判定一个函数在某区间上存在零点?

(让学生思考、探究，部分学生能想到：特殊化，从具体而熟悉的函数入手，作为起点.)

问题1 函数f(x)=x2-2x-1在区间(2，3)上是否存在零点?

(学生通过求根公式，得出函数f(x)在区间(2，3)上存在零点.)

问题2 从“形”的角度，如何判定函数在区间(2，3)上是否有零点及零点的个数?

(学生画出函数f(x)=x2-2x-1的图像，观察得到函数在区间(2，3)上有一个零点.)

之后，教师进一步提出下列问题：

问题3 请大家观察图5，如何用符号语言来刻画这一事实呢?

(让学生思索1分钟.)

问题4 你能发现函数的零点与端点 f(2)，f(3)，f(0)的函数值的符号有什么直接联系吗?

(由小组讨论2分钟，再请代表根据图5，交流并概括函数零点存在定理.)

对于层次偏低的班级学生，教师要通过减少隐性问题、增加显性问题等来降低难度.设置如下：减少总问题，直接提出具体的问题1和问题2，把问题3和问题4改为以下较为显性的问题串：

(1)在区间(2，3)上有没有零点?f(2)，f(3)值的正负号如何?

(2)在区间(0，2)上有没有零点?f(0)，f(2)的正负号如何?

(3)在区间(3，+∞)上有没有零点?注意函数的变化趋势.

(4)从以上结果，你能发现函数的零点与端点f(2)，f(3)，f(0)值的符号有什么直接联系吗?

图5

说明 该案例是对结论“零点存在定理”分层设置了问题串，如上述总问题和问题3都具有隐蔽性，思维起点较高，适宜基础较好的学生.课堂显示：虽然学生在探究过程中遇到了一些困难和障碍，但这些问题引发了学生的积极思维.问题4较为显性和具体，大部分学生都能解答.而设置更为显性的问题串，是为了给层次较低的学生一次成功的机会.虽然问题的探究花费了15分钟，但这样的“分级提问”促使了不同层次学生的思考，使得每一位学生的思维都得到激活，体现了层次教育、教育公平和成功教育.

面对一些思维活跃的尖子生，有时还可以通过提出跨度较大的挑战性问题，促使学生发现结论;有时也可以给尖子生预留点时间，让他们自己发现并提出问题.

教学实践表明：在教师的必要引导下，学生围绕导入问题思考，不仅经历了探究的过程、感受了结论的意义形成表象，而且注意力高度集中，催生了灵感，建构了结论.

［1］ 孔企平，张维忠，黄荣金.数学新课程学习与数学学习［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［2］ 孔小明.“直线与平面垂直的定义与判定”的教学设计与说明［J］.数学通讯，2010(12)：14-15.