一道全国初中数学竞赛试题另解与联想

●李玉荣 (金陵中学河西分校 江苏南京 210019)

题目如图 1，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC.点P在△ABC内，且PA=，PB=5，PC=2，求△ABC的面积.

(2011年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)

图1

图2

原解 如图2，作△ABQ，使得

由AB=2AC，知相似比为2，因此

又由AQ ∶AP=2 ∶1知，∠APQ=90°，得

点评此解法先通过作2个对角相等的一对相似三角形，使分散的线段PA，PB，PC相对集中，进而得到2个直角三角形，为解决问题打开了突破口.但解法中的

没给出过程.实际上，四边形BPAQ是梯形，还需过点A作梯形的高，进一步用勾股定理才能得到.再把这个式子整体代入三角形面积公式

从而求出△ABC的面积.辅助线的添加无疑是解决问题的关键.笔者对此题作了研究，利用图形变换给出另2种解法，供参考.

另解1 如图3，分别作点P关于 BC，AC，AB的对称点 P1，P2，P3，连结 P1B，P1C，P2C，P2A，P3A，P3B，P3P2，P3P1.由∠BAC=60°，AB=2AC，易知∠BCA=90°，∠ABC=30°，得

因此点 P1，C，P2共线，于是

又由△P1BP3为等边三角形得

得△P1P2P3为直角三角形，故

评注此解法通过对称性构造出一个五边形，转化为3个特殊三角形求出其面积，进而求出△ABC的面积.

图3

图4

另解2 如图4，延长AC至点D，使得CD=AC，连结BD.显然，△ABD为等边三角形.将△ABP绕点B逆时针旋转60°，得到△DBE，DE=AP=，即△PBE为等边三角形，故 PE=PB=5.延长PC 至点 F，使得CF=CP，则 PF=4.连结 DF，EF，易证△APC≌△DFC，于是

因为EF2+PF2=32+42=52=PE2，所以△PEF为直角三角形，故

评注此解法先构造等边三角形，再类比一类常规问题解法，将等边三角形内的一个三角形旋转，最终构造出一个五边形，然后转化为3个特殊三角形求出其面积，进而求出△ABC的面积.

收获 从另解1可证得

从另解2也可证得

于是原题可编制成另一个问题：

如图 5，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC.点 P在△ABC内，且 PA =，PB=5，PC=2，求∠APC 的度数.

图5