一个代数不等式及其若干几何推论

●董 林 (高青县教研室 山东高青 256300)

近日，笔者发现了一个代数不等式，若干我们熟知的几何不等式都是它的推论，现兹录于下，以飨读者.

命题若 x1，x2，x3与 y1，y2，y3大小顺序异向，且都是正数，对任意正整数u，v，有

证明已知 x1，x2，x3与 y1，y2，y3大小顺序异向，且都是正数，根据切贝雪夫(Chebyshev)不等式得

由詹森(Jensen)不等式知根据基本不等式有即不等式(1)成立，证毕.

在不等式(1)中，取 x1=a，x2=b，x3=c，y1=p-a，y2=p-b，y3=p-c，u=v=1，即得推论 1.

推论1 在△ABC中，有

不等式(2)是文献［1］中的不等式.

在不等式(1)中，取 x1=a，x2=b，x3=c，y1=p-a，y2=p-b，y3=p-c，u=2，v=1，即得推论 2.

推论2 在△ABC中，有

不等式(3)是文献［2］中的不等式.

在不等式(1)中，取 x1=a，x2=b，x3=c，y1=p-a，y2=p-b，y3=p-c，u=n，v=1，即得推论 3.

推论3 在△ABC中，有

可见，不等式(4)是不等式(2)和不等式(3)的推广.

在不等式(1)中，取 x1=a，x2=b，x3=c，y1=b+c，y2=c+a，y3=a+b，u=n，v=1，即得推论 4.

推论4 在△ABC中，有

不等式(5)是第28届IMO竞赛试题.

推论5 在△ABC中，有

不等式(6)是文献［3］中的猜想3.

在不等式(1)中，取 x1=rbrc，x2=rcra，x3=rarb，y1=a，y2=b，y3=c，u=1，v=2，可得推论 6.

推论6 在△ABC中，有

不等式(7)是《数学通报》数学问题1 149.

在不等式(1)中，取 x1=a，x2=b，x3=c，y1=rbrc，y2=rcra，y3=rarb，u=2，v=1，即得推论 7.

推论7 在△ABC中，有

不等式(8)是文献［1］中的不等式，也是不等式(7)的对偶式.

可得推论8.

推论8 在△ABC中，有

由基本不等式及推论6的证明，知

同理可得

从而不等式(9)强于不等式(8).

在不等式(1)中，取 x1=a，x2=b，x3=c，y1=rbrc，y2=rcra，y3=rarb，u=2n，v=n，即得推论 9.

推论9 在△ABC中，对于任意正整数n，有

不等式(10)是文献［4］中的不等式，也是不等式(8)的推广.

在不等式(1)中，取 x1=ra，x2=rb，x3=rc，y1=ha，y2=hb，y3=hc，u=v=1，可得推论 10.

推论10 在△ABC中，有

再由ra+rb+rc=4R+r及不等式(1)就可得不等式(11)成立.

由熟知的 Euler不等式 R≥2r易知，不等式(11)强于文献［1］中的 H.Demir-D.C.B.Marsh不等式

在不等式(1)中取 x1=ra，x2=rb，x3=rc，y1=ma，y2=mb，y3=mc，u=v=1，结合 ra+rb+rc≥ma+mb+mc［1］可得推论 11.

推论11 在△ABC中，有

不等式(13)是文献［5］中的不等式.

由平面几何知识，可知 ma≥hb，mb≥hb，mc≥hc，因此不等式(13)也是不等式(12)的一个加强.

依据不等式(1)还可以将不等式(12)推广为

推论12 在△ABC中，对于任意正整数n有

在不等式(1) 中，取 x1=an，x2=bn，x3=cn，y1= λ(bn+cn)-an，y2= λ(cn+an)-bn，y3=λ(an+bn)-cn，其中 λ≥2n-1，u=v=1，即得

不等式(15)推广了1982年Klamkin给出的不等式［6］：

对于任意的λ≥1，有

［1］ Bottema O.几何不等式［M］.单墫译.北京：北京大学出版社，1991.

［2］ 宋庆.关于三个几何不等式［J］.中学数学教学参考，1997(10)：34-35.

［3］ 宋庆，宋光.一个代数不等式与一类几何不等式［J］.中学教研(数学)，1999(12)：22-25.

［4］ 方明.一个代数不等式与一类几何不等式指数的推广［J］.数学通讯，1999(2)：33-34.

［5］ 周才凯.一个几何不等式的加强［J］.中等数学，1998(3)：27-28.

［6］ 宋庆.Klamkin不等式的推广［J］.湖南数学通讯，1997(3)：25.