一堂数列课的教改实践

●荆志强 (丹阳市第六中学 江苏丹阳 212300)

“数学课，怎么上”这个看似平谈的话题却十分沉重.现今的数学课教学，普遍存在“教师讲得累，学生学得苦，教学效果不理想”的状况，这严重影响了教学质量的提高和优秀人才的培养.笔者在长期实践中摸索出“自学交流、自主成长”的教学模式，收到了“轻负担、高质量”的良好效果.本文以高三数学第一轮复习课“求数列前n项和”为例，介绍笔者的一些做法和体会，供大家参考.

1 自学交流，自主成长

1.1 课前准备

课前印发学案让学生自己初步完成，内容为相关基础知识：数列前n项和的概念、等差数列、等比数列、通项公式及前n项和公式.

基本训练题：

(4)已知数列{an}的通项an=(-1)n-1n，求前n项和Sn;

(5)求数列 1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n-1前n项和;

(6)求数列 a，2a2，3a3，…的前 n 项和.

上课前，教师浏览学生初步完成的学案，了解学情及学生掌握基本方法的情况、学生的常错点、卡壳处，并及时将学案发还给学生以便上课使用.

1.2 课堂交流

课堂上，教师将讲台让给学生，让学生把课前准备的学案放在投影仪上进行交流，并相互对话，去伪存真，集思广益.学生1第一个展示自己的学案：

此时，学生2走到投影屏前，指出学生1给出的等比数列前n项求和公式Sn有错，正确结果应对公比q加以讨论，即

这里存在一个很好的教育契机，教师问学生2：为什么要进行分类讨论?这把学生的思维引向了回顾反思之中.学生1补充：追溯公式的产生过程，由乘减法得(1-q)Sn=a1(1-qn)，只有当1-q≠0时，1-q才能作分母;事实上，等比数列中有q=1的情况，因此学生2给出的公式不全面.理解公式的来龙去脉，走出机械记忆的怪圈，就能有效避免忽视特例导致的失误.

(全班学生给学生1、学生2报以热烈的掌声.)

接下来的基本训练题较容易，学生都跃跃欲试.学生3走上讲台展示第(1)题的解答：

学生4跑上讲台，拿起教鞭，指点着数列的项对大家说：这里有n+1项，原式应等于2n+1-1.但是学生3并不服气：经验证，当n=1时，左边=1，右边=1，显然成立.

(这时教室里一片寂静，学生陷入沉思，心智展开充分的辨析活动，孰是孰非，原因何在?)

讨论后，学生达成共识：正确答案为2n+1-1.注意到n=1，左边=1+21=3与21+1-1相等.

(至此，大家心悦诚服地接受了学生4的结果).

然后学生5、学生6、学生7分别展示了第(2)、第(3)、第(4)题的做法：

教师肯定了以上学生的解法，并与学生共同归纳了数列求和的基本思路：转化为等差(等比)数列、拆项抵消、分类讨论等，尤其要注意所给数列的项数.为了培养学生的洞察力及思维的机敏性，教师启示学生观察第(4)题的特征，思考不讨论求和的解法，从而激发学生积极搜索有效信息，开辟新的思维通道.

学生8运用推导等比数列前n项和的思路给出了新的解法：

点评运用“乘减法”求数列前n项和是十分重要的方法，在数列求和中广泛应用.

接下来，引领学生共同研究余下的2个例题.学生9解答了第(5)题：

点评抓住通项公式，是求数列前n项和的重要环节.

学生10给出了第(6)题的解答，令

式(1)的左右2边同乘以a，得

此时，已有学生发现学生10的解答过程不严谨.

学生11认为在式(3)中对a+a2+…+an求和时，已默认了该数列为等比数列 a，a2，…，an.事实上当a=0时，它不是等比数列，此时Sn=0，这个结果蕴含于a≠1时的形式内.这就是说，必须分类讨论后归纳出正确的答案，即

以上6道题并不复杂，选题旨在帮助学生归纳基础知识和基本方法，引领学生掌握数列求和的基本思维策略，最后教师与学生共同研究了一道学案之外的思考题：

这道题课前没有做过，学生比较生疏，没有现成的模式可以套用，必须临场发挥，具体问题具体分析.良久不见学生举手，可见学生思维受阻，教师不急于告诉学生方法，而是启示学生从已知条件{an}为等差数列，{akn}为等比数列去挖掘数列{kn}的特征，然后启迪学生从联结2个数列的纽带上去寻找关系，让学生从简单入手，寻找阶梯一步一步走出困境.

总评 尽管学生12没有走完全程，但迈出了艰难的第一步.学生13终于在“纽带”上找到了希望.

(全班响起了热烈的掌声，这掌声既是对这2位学生的鼓励，更是对他们不畏艰难、勇于攀登精神的赞美.下课了，学生们仍然余兴未尽，仍在追思其中的奥妙.)

1.3 初步效果

整堂课，教师占用的时间不足10分钟，教学的重心是学生将自学的内容、心得在课堂上交流，在交流的过程中去伪存真，完善自我，开拓思维.学生深深地感受到，教师把其推到前台，汇报其所思、所做，真正有了主人的感觉，不再是被动接受的容器.这不但锻炼了学生的表达能力、思辨能力，提高了解题速度、书写规范意识，加强了学习自觉性，而且让学生获得了学习的愉悦，收获了成长的勇气和信心.

2 几点启示

在近几年中，笔者边学习、边实践、边思考，终于摸索出“自学交流，自主成长”的成功模式，取得了骄人的教学业绩，收到了同行专家的高度赞扬.深刻反思笔者的教学过程，有几点重要启示，值得广大同行关注.

启示1 让出讲台，不教而教

“课堂教学的重心究竟在哪里?是以教为主还是以学为主?”这是很多同行疑惑的问题，有些同行没有加以思考，重复着“我讲你听”的老调.数学课程标准明确指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习，探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识”.笔者在教学中，让出讲台，把以教为主转变为以学为主，达到不教而教的目的，收到了很好的效果.教师的任务主要是编制学案、了解学情，把传统的教师讲解型转变为构建数学活动，引导学生参与数学活动;教师是活动的组织者、参与者、协调者，只在必要时进行点拨.

俄罗斯数学教育家斯托利亚尔认为，数学教学应看作数学活动的教学，即看作某种思维活动的教学，这个看法有建设性的，学生在教师设置的数学活动中，认知数学，开拓思维，培养和发展能力，才能把传统型教学转化为能力型数学，让学生在活动中掌握数学.

启示2 自学交流，凸现主体

著名数学教育家波利亚认为：直接从教师或书本那儿被动地不假思索地接受过来的知识，可能很快忘掉，难以真正变成自己的东西.在学生自学的基础上，创设交流、探究的平台，让学生感受到自己不再是听众，而是数学活动的主角，就会变被动接受为主动参与，毫无顾忌地将自己的能力展现给大家.无论是对还是错，正确的东西可及时得到确认，谬误的东西可以及时得到纠正，此时的注意力，总是比较集中的，容易留下深刻印象.

在交流中切磋可以集思广益，在交流中相互启迪可以开阔视野，使数学课不再枯燥和茫然，而成为一种责任、一种使命.这种交流带给学生动力，甚至产生按奈不住的冲动，学生会在这种交流中认识自我、改变自我、超越自我.

启示3 符合规律，喜结硕果

在教学中体会到，学生是最宝贵的教育资源.学生既是学习的发生之处，也是学习的终极之处，教师在课堂上所做的一切，最后都得由学生自己去完成.当教师构建数学活动，创设交流、探究平台，引领学生积极参与活动过程时，无论其学得好还是差，学生的掌声都会使参与者得到心灵的震撼，让自尊得到抚慰，精神得到愉悦，学习数学的兴趣在心底闪光.

学生在学习交流中既展示成果也暴露问题，使问题能得到及时纠正，并铭记错因，有效提高正确率.

在教学中发现，教师告诉学生的解题技巧往往被束之高阁，不能灵活运用，而在教学中若能创设情境，引领学生优化思路，在比较中感受简洁，则最优方案容易在大脑的信息库中被激活，做到灵活运用，如第(4)题：学生根据自身思维特点，将n分为奇、偶数讨论，是无可厚非的，要求学生不讨论直接求和时，学生在反复审题时发现命题具有“等比数列”特征，只要运用乘减法就能一气呵成.学生在深思熟虑中领悟乘减法，就能灵活求解一类特殊前n项和的问题，并有效避免忽视对公比q讨论产生的失误.

当学生思维受阻时，教师不急于包办代替，而是启迪思维，引领学生寻找阶梯走出困境，这样的过程虽然艰难，却使同学在积极的心智活动中，探索前行到达成功的彼岸，学生不仅增长了独立分析问题和解决问题的能力，更是增添了自强不息、立志成才的信心.这样的教学无疑是学生生活中的灿烂阳光，由此造就出生机逢勃的一代新人.

经过多轮教学实验，笔者所教班级学生在高考中连续多年取得优异成绩.更可喜的是，学生综合能力在轻松高效的课堂中得到提高，培养的学生不仅成绩优秀，而且口才好、能力强，终身受益.学生无不感慨地说：原来数学课可以这样上，学习可以这么学;上数学课不仅是一个学习过程，更是一个锻炼的过程;在这里收获的不仅是知识、方法和能力，更是青春的成长、成才.