离散型多变量条件极值问题新探

●张俊杰 刘海槐 (华南师范大学数学科学学院 广东广州 510631)

1 问题引入

(2006年全国高中数学联赛试题)

此题是1976年第4道IMO试题的变式，采用调整法即可求解.受文献［1］的启发，笔者把每个xi加强为正合数，得到了一些有趣的结论.

2 变式推广

显然，和为S的不同正整数分拆只有有限个，所以必有S的一个正合数分拆，使得u(n)取到最大值.

定义 若x1+x2+…+xn=S(n∈N*)，其中S∈ Z+，xi(i=1，2，…，n) 为正合数，则称使u(n)取得最大值的数组(x1，x2，…，xn)为最优解.

下面对u(n)max进行探究.

为求u(n)max的值，可先探究v(n)min.容易验证：当S ∈ {1，2，3，5，7，11} 时，S不能表示成若干正合数之和，因此 v(n)min不存在;当 S ∈ {4，6，8，9，10，12}时，对应的n和v(n)min如表1所示.

表1 对应的n和v(n)min值

续表1

下设S≥13，u(n)取得最大值的最优解为(x1，x2，…，xn)，此时 v(n) 取得最小值，则有

性质1 xi≤9(1≤i≤ n).

证明若不然，则存在某个xj≥10(1≤j≤n).下面对xj进行分类讨论：

(1) 当2|xj时，因为xj=(xj-4)+4，注意到xj-4为正合数，但

所以可用xj-4和4代替xj而使v(n)变小，这与(x1，x2，…，xn) 为最优解矛盾;

同理可得，与(x1，x2，…，xn)为最优解矛盾.

性质2 不存在xi=xj=6(1≤i＜j≤n).

证明因为xi+xj=6+6=4+4+4(1≤i ＜ j≤ n)，但

与(x1，x2，…，xn) 为最优解矛盾.

性质3 不存在xi=xj=9(1≤i＜j≤n).

同理得出矛盾.

下面对S(S≥13)进行分类讨论：

(1)4|S，即S=4k，k∈ N*且k≥4.由上述3个性质，易知当x1=x2=… =xn=4时，v(n)取得最小值

此时n=k.

(2)4|S+3，即S=4k-3，k∈N*且k≥4.因为S为奇数，由性质3知，存在唯一的某个xi=9(1≤ i≤ n)，不妨设 xn=9，则

由(1)知，当x1=x2=… =xn-1=4且xn=9时，v(n)取得最小值

(3)4|S+2，即S=4k-2，k∈N*且k≥4.因为S=4(k-2)+6为偶数，由性质2和性质3知，存在唯一的某个xi=6(1≤i≤n)，但不存在xj=9(1 ≤ j≤ n).不妨设 xn=6，则

由(1)知当x1=x2=… =xn-1=4且xn=6时，v(n)取得最小值

(4)4|S+1，即S=4k-1，k∈N*且k≥4.因为S为奇数，故存在唯一的某个xi=9(1≤i≤n)，不妨设 xn=9，则

由性质2，不妨设xn-1=6，则

由(1)知，当x1=x2=… =xn-2=4，xn-1=6且xn=9时，v(n)取得最小值

结论当S∉{1，2，3，5，7，11} 时，对应的n，v(n)min和u(n)max的值分别为表2所示(其中k∈N*).

表2 对应的n，v(n)min和u(n)max值

设u(n)取得最大值的最优解为(x1，x2，…，xn)，不妨设x1≤x2≤…≤xn，同理可得性质1至性质3，而且在变式2中还满足：

性质4 x1=4.

证明若不然，则x1=6或x1=9.倘若x1=6，因为

这与(x1，x2，…，xn) 为最优解矛盾;倘若 x1=9，因为产生矛盾.故x1=4.

至此，变式2化归为变式1的求解，下不赘述.

其实，还可以改变u(n)的形式和xi的条件限制，例如当xi均为正奇合数时将得到一些有趣的新结论.请读者自行探究.

［1］ 叶军.数学奥林匹克教程［M］.长沙：湖南师范大学出版社，2003.