相角裕度和幅值裕度的一种估算方法

刘美侠，孙延永

(宿迁学院机电工程系，江苏 宿迁 223800)

控制系统的稳定性是系统分析和设计所需解决的首要问题。在实际系统中，动态稳定性不仅必须保证，而且还要有一定的稳定裕度，以防参数变化的影响。根据奈氏判据:对于最小相位系统，稳定的充要条件是开环幅相频率特性曲线TGH包围(-1，j0)点的圈数为0。当开环幅相频率特性曲线TGH穿过(-1，j0)点，闭环系统临界稳定。因此，在稳定研究中称(-1，j0)点为临界点，而闭合曲线TGH相对于临界点的位置即偏离临界点的程度，反应系统的相对稳定性。频域的相对稳定性即稳定裕度常用相角裕度 γ 和幅值裕度 h 来度量[1，2]。

本文的例题可以说明，笔者用于估算相位精度和幅值精度方法简便，且有较好的精度。经过大量系统验证了该方法是可行的，并在工程分析与设计中也能获得满意的结果。

1 系统的开环频率特性

设系统的开环传递函数为

式中，s是复变量;K为开环增益;τi和Tj为时间常数;v为开环系统s平面坐标原点上的极点的重数。

把式(1)中的s用jω代替就得系统开环特性:

2 相角裕度γ

2.1 直接利用定义求解

设ωc为系统的截止频率，有

由式(5)可解出 ωc，代入式(4)可求得 φ(ωc)，代入式(6)求得相角裕度γ。但是由于要解反三角函数方程，因此当系统阶次较高时ωc很难求出，这正是此方法的局限所在。在工程设计和分析时，只要求粗略估计系统的相角裕度，我们一般先根据对数幅频特性渐近曲线确定截止频率ωc，即取ωc满足L(ωc)=0，再由相频特性确定相角裕度γ。

2.2 估算求法

幅频特性渐近曲线对系统在ωc处幅频值有影响的环节包括比例环节、积分环节、惯性环节、一阶微分环节和振荡环节等。……