论牛顿对数学与实验的统一

徐建科

一、牛顿其人

爱因斯坦说：“迄今为止，牛顿关于宇宙的统一概念还不可能被一个同样普遍的概念所取代。如果没有牛顿那明晰的理论体系，那么我们至今所取得的成就将是不可能的。 ”［1］215

在牛顿出生之前，近代科学的发展中已存在两个重要且富有成效的运动：一个是由哥白尼、开普勒、伽利略等人推进的数学运动，另一个稍晚但与此同时也在不断发展的是由培根、吉尔伯特、玻义耳等人推进的实验运动。在此意义上，牛顿是一个幸运儿。历史似乎要在这个关键点上产生一位巨人，以便能使这两种运动有效地结合在一起，这个人只能是伊萨克·牛顿，一个在近代科学中名声赫赫的人物。

牛顿的天才使他成为这两个运动的共同继承者。在一个场合中，牛顿自己评论说：“如果我比别人看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上。”的确，他的先驱者们——尤其是伽利略、笛卡儿和玻义耳等都是巨人。他们已经为这个人的心灵的无与伦比的成就铺平了道路。在这里，他发明所需要的数学工具，借助于它把整个物质宇宙的主要现象归结为一个单一的数学定律，即万有引力定律。

近代科学的主要创造性时期是在17世纪。至于前牛顿科学，那在英国和欧陆都与前牛顿哲学属于同一个运动，科学就是自然哲学。那个时期最有影响的人物既是最伟大的哲学家，又是最伟大的科学家，但主要是由于牛顿本人的工作，两者之间才逐渐产生一个真正的区分，哲学逐渐把科学看作是理所当然的。

通过他那杰出的科学成就，他深刻地影响了一般有识之士的思想。在他的那些辉煌成就中，最令人惊奇的是，通过把地面上的重力等同于天体的向心运动，他以人类科学的名义征服了天体。科学史学家E·伯特说：“牛顿的名字今天是如此之伟大，以至于当我们想描绘18世纪的整个欧洲对他的尊敬和崇拜时，我们都感到有些困难。要是我们笃信那个时代卷轶浩繁的文献，那么像发现运动定律和万有引力定律这样的成就，就表征了心灵的一种无可匹敌的重大胜利，在整个时间历程中，这种胜利只能落到一个人的头上，这个人便是牛顿。”［2］

一位研究物理学史的学者指出：他会在英国的天才中看到一位领先人物，这个人发明了某些像微积分之类的富有成效的对于进一步的发展来说是绝对必要的科学工具；他会在那个人那儿发现把实验方法和数学方法统一起来的第一个清晰的表述。在精密科学随后的一切发展中，这种统一都得到了示范；他会注意到，在牛顿那儿，积极的科学研究和根本的因果关系问题发生了分离。他接受了力和质量这样的模糊词项，但给予它们以作为量的连续统一的精确含义，这样通过使用这些词项，主要的物理现象便逐渐服从于数学处理了。正是因为这些显著的科学活动，牛顿之后一百年的数学和力学的历史主要是致力于吸收他的工作，并把他的定律应用到各种各样的现象中去。物体是在他已经定义了的力的作用下在时间和空间中运动的质量，因此我们现在可以按照严密数学来完整地说明它们的行为［2］17。

他的科学征服所蕴涵的那种基本的宇宙哲学，他仅仅是接过了他的思想先驱在这些问题上已经为他形成的思想，只是偶尔地在他的个人发现明显起作用的地方刷新这些思想，或者以使他感到更为惬意的形式略微重塑它们。E·伯特说：作为科学家，牛顿至高无上，“可是作为一位哲学家，他缺乏批判力、粗糙、不一致，甚至可以说是一位二流哲学家。”［2］177至少在他的实验工作中，牛顿试图彻底避免形而上学，他说“物理学，当心形而上学呵！”［3］12他讨厌假说，他所谓的假说是指不是直接从现象中推导出来的任何东西。

在一个以彻底反叛权威为特征的时代，牛顿享有这一盛誉：他已经成为那个时代的象征，而且只有中世纪晚期的亚里士多德与现代的爱因斯坦才能与之媲美的一个权威。

二、牛顿的数学

在《自然哲学的数学原理》序言的开头，牛顿就强调了数学方法的重要性：“由于古代人在研究自然事物方面，把力学看得最为重要，而现代人则抛弃实体形式与隐秘的质，力图将自然现象诉诸数学定律，所以我将在本书中致力于发展与哲学相关的数学。”［4］随后，牛顿又简要表述了他的全部研究的科学纲领：“我的这部著作论述哲学的数学原理，因为哲学的全部困难在于：由运动现象去研究自然力，再由这些力去推演其他现象。为此，我在本书第一和第二编中推导出若干普适命题；在第三编中，我示范了把它们应用于宇宙体系，用前两编中数学证明的命题由天文现象推演出使物体倾向于太阳和行星的重力。再运用其他数学命题由这些力推算出行星、彗星、月球和海洋的运动。我希望其他的自然现象也同样能由力学原理推导出来。由许多理由使我猜测它们都与某些力有关，这些力以某些迄今未知的原因驱使物体的粒子相互接近，凝聚成规则形状，或者相互排斥离散。”［4］从这个纲领中，我们不难发现他的工作思路是从运动现象→力→其他现象。这个科学程序是双重的：从某些基本运动中推导出力，再从这样知道的力去推演其他运动。我们不知道他是怎样选取作为他工作出发点的运动现象的（可以猜想，他像伽利略那样表现出其非凡的天才），然而可以肯定的是，通过假设地上现象与天上现象的同一性，牛顿用他的原理解释了当时所能知的一切运动现象。这段话同样也展示了他的研究方法实质上就是采用数学的方法。数学演绎在他那儿起着中心作用，我们也能从他精心选择的标题即“自然哲学的数学原理”中可以看出，这个标题以简要的形式充分表示了他的科学工作的根本假定。

牛顿的《普遍算术》包含了他在1673-1683年在剑桥的演讲。在该书中，牛顿把算术和代数提升为基本的数学科学，相对于笛卡儿、霍布斯、巴罗等的“普遍几何”，这就从根本上否定了当时整个西方的数学传统。前牛顿时期，几何学一直都是唯一具备资格的数学科学，从某种意义上说，几何学就等同于数学。天文学、算术和音乐都只是数学即几何学的一个分支。阿尔法拉比和罗吉尔·培根对于数学科学是按照这样的秩序排列的：几何学、天文学、算术、音乐，排在最高等级的理所当然的是几何学。

可能主要是由于方法论的考虑促使他产生了这种转变，他发明的微分运算向他提供了一个其操作不可能完全在几何上加以表达的工具。他同时指出，如要在代数上来处理力学和光学，就必须引进 （代数）符号来表达在数学化简中所关心的它们的一切性质。

通过把光学现象化简为数学公式，牛顿又一次证明了数学在他的工作中的重要地位。在其《光学》第一册中，牛顿说道：“如果允许光学会有这些[光的折射、反射等的]定理，那么就有充分的余地按照一种新的方式来对那门科学进行系统的处理；这种处理不仅要讲授那些使视觉达到完美的东西，而且要在数学上决定能够由折射产生的一切类型的色彩现象。为了要这样做，没有什么比找出混合光谱的分离以及它们在每个混合状态中的各种混合比例更重要的了。”［2］179这儿，牛顿通过把数学方法应用于色彩现象，从而找出“混合光谱的分离以及它们在每个混合状态中的各种混合比例”。在该书末，牛顿总结道：色彩的科学就像光学的任何其他部分一样，是一种真正的数学沉思。

三、牛顿的实验

正如他是一位完美无缺的数学家一样，牛顿也是一位彻底的经验主义者。同开普勒、伽利略一样，他认为“我们工作于可感觉到的效果的原因”。在对其方法的每一个陈述中，他都强调说，我们努力要证明的正是观察到的自然现象。不仅如此，他还认为，实验指导和证实必须伴随这个说明过程的每一步。在给奥尔登堡的一封信中，牛顿强调了实验的重要性。他说：“进行哲学[指自然哲学——作者按]研究的最好和最可靠的方法，看来第一是，勤恳地去探索事物的属性，并用实验来证明这些属性，然后进而建立一些假说，用以解释这些事物本身。因为假说只应该用于解释事物的一些属性，而不能用以决定它们，除非它能为之提供一些实验。”［5］笛卡儿、开普勒以及伽利略相信世界从根本上说是数学的，因此用那已臻于完美的数学方法便能完全揭示出它的秘密。可是，对牛顿而言，绝对没有先验的确定性。世界就是这个样子，如果我们能够在其中发现严格的数学定律，那当然很好；如果不能，那我们必须努力发展数学，或者使自己屈从于其他不太确定的方法。牛顿的这种经验主义的试验性态度在这里昭然若揭。因而，对牛顿来说，数学之真与物理之真是有区别的。在这点上，他与伽利略、笛卡儿等形成了鲜明对比。当然，伽利略和笛卡儿也不会假设要先验地解决所有物理问题。一般而言，从那些被接受为自然之结构的根本的数学原理中可以推导出对那些问题的解答，只是当从数学原理中推导出来的结果不一致时，才需要用实验来加以判定。可对牛顿而言，数学必须不断模仿经验，只要经过冗长的推导，那么这些推导结果就必须得到物理上的证实。在实验和数学这两方面，牛顿更偏重于前者。他似乎比一般的科学家更缺乏信心，因为他不断要求实验证实。

在《原理》序言中，牛顿注意到“古代人从两方面考察力学，其一是理性的，讲究精确地演算，再就是实用的。实用力学包括一切手工技艺，力学也由此而得名。但由于匠人们的工作不十分精确，于是力学便这样从几何学中分离出来，那些相当精确的即称为几何学，而不那么精确的即称为力学。”［4］牛顿在这儿区分了几何学和力学，他把精确的部分称为几何学，不那么精确的则称为力学，但它们都来源于一门单一的力学实践科学，即他所指称的“实用力学”。他接着又说：“画直线与圆是问题，但不是几何学问题。这些问题需要力学来解决，而在解决了以后，则需要几何学来说明它的应用。几何学的荣耀在于，它从别处借用很少的原理，就能产生如此众多的成就。所以，几何学以力学的应用为基础，它不是别的，而是普遍适用的力学中能够精确地提出并演示其技巧的那一部分。不过，由于手工技艺主要在物体运动中用到，通常似乎将几何学与物体的量相联系，而力学则与其运动相联系。在此意义上，理性的力学是一门精确地提出问题并加以演示的科学，旨在研究某种力所产生的运动，以及某种运动所需要的力。”［4］

从这段话可看出，牛顿的经验主义倾向十分明显。经验的和实践的强调是中心，几何学是“普遍力学”的一部分，它和其他力学分支一起构成一门单一的关于物体运动的科学，而那门科学原本是为了适应实践的需要才发展起来的。在给奥尔登堡的另一封信中，牛顿强调了用实验的方法来判定是非的标准的重要性：“为了决定什么是真理而去对可以解释现象的各种说法加以推敲，这种做法我不认为是行之有效的，除非我们能把所有这些说法完全列举出来。您知道，探求事物属性的准确方法是从实验中把它们推导出来。我对您说过，我所以相信我所提出的理论是对的，不是由于它来自这样一种推论，因为它不能别样而只能这样，也就是说，不是仅仅由于驳倒了与它相反的假说，而是因为它是从得出肯定而直接的结论的一些实验中推导出来的。所以考察它的方法，就在于考察我所提出的实验，是否确实证明了这个理论中应用了这些实验的那些部分，或者是去进行为理论自身的验证而提出其他实验。”［5］10

牛顿认为，判定他的理论对错的关键在于考察他所提出的实验；要想推翻他的理论，关键在于推翻他的实验。牛顿具体指出下列两种异议：（1）指出他从实验中所得出的理论的短处或缺点，以表明他用以判定这些问题的那些实验是不充分的；（2）去做和他的理论针锋相对的一些实验，假如这样的实验有可能的话。牛顿最后总结道：如果他所提出的那些实验有缺点，那么要举出这些缺点是不会有什么困难的；但是，如果它们是有效的，那么由于证实了他的理论，它们必然会使一切异议变得软弱无力。

四、牛顿的方法：数学与实验的统一

牛顿是如何把数学方法与实验方法统一起来的？同样是在给奥尔登堡的一封信中，他谈到了他在光学（颜色科学）中把数学论证与实验验证有机结合起来的一些相关见解：“我确实说过，有关颜色的科学是数学的，并且像光学的任何其他部分一样是可靠的。但是谁不知道，光学以及许多其他科学一样都有赖于数学的论证？而且一种科学的绝对可靠性不能超过它的原理的可靠性。我在对这些有关颜色的命题提出证据的时候，接下来就说道，这些证据是从实验来的，所以只能是物理的，因而这些命题本身只能被视为一种科学的物理原理。假如这些原理确实能够使一个数学家据以决定一切由折射所引起的颜色现象，并且经过论辩或论证，确实能够从方式和程度的多少上表明折射把那些原来就带有几种颜色的光线分了开来或混合了起来，那么，我认为就应该承认这门颜色的科学是数学的，而且像光学的任何其他部分一样是可靠的。我有足够理由相信，这是可以做到的，因为自从我开始认识这些原理以来，我曾为此目的利用它们，并且在这些情况下经常获得成功。 ”［5］113“一种科学的绝对可靠性不能超过它的原理的可靠性”，而原理的可靠性则需要实验证据来支持，只有这样得出的原理牛顿才把它视为一种科学的原理，并且数学家能从这些原理出发推导出一些有效的可供实验证实的结论。那么，这样建立起来的科学知识才是可靠的。

从牛顿的更多著作和有关研究详细而清楚地阐明了他的工作方法。我们可以把他的那套完整的数学实验方法解析为三个主要步骤：第一步是通过实验对现象进行简化，这样就可以抓住并精确定义现象的那些定量发生变化的特征以及变化的方式；其次是对这些命题进行数学阐释，这一点牛顿与伽利略采用的方法相同，即用数学方法来表示那些量的变化关系 （包括使用他所发明的新数学工具——微积分）；最后，如他以上所述，还必须对数学推论做进一步的实验验证。因此，对牛顿而言，每一个重要的科学步骤的开始和结束都要有细密的实验工作。我们试图要理解的总是感觉事实，但如果要使这种理解精确，那么，我们就必须用数学语言来加以描述。因而，我们首先必须用实验来发现能够用数学语言加以处理的特征，最后还需要用实验来证实所得之结论。牛顿在其一般方法论中这样阐述道：“自然哲学的目的在于发现自然界的结构和作用，并且尽可能把它们归结为一些普遍的法则和一般的定律——用观察和实验来建立这些法则，从而 ［用数学方法——作者按］导出事物的原因和结果。”

牛顿认为，他的方法与先前的任何一种方法，如笛卡儿的或伽利略的方法存在着一个根本差别。伽利略抛弃了按照物理事件的根本原因来进行的说明，支持按照它们的直接方式来进行的说明，但伽利略仍然从前人那里继承了许多形而上学偏见，他把他的数学方法树立为一种形而上学，而且在他的工作中不把对感觉到的运动的科学研究与那些更根本的思想明确地区分开来。在笛卡儿那儿，数学形而上学占据着中心，占据着一个支配性的地位。科学是由假说构成的，假说的确需要尽可能地用实验来检验和证实，但是在任何时候都可能出现相对立的实验，因而我们不得不承认科学理论的虚构性。牛顿愿意承认发生例外的可能性，但他并不因此承认科学是由假说构成的。他说“我不构造假说”，他认为假说在科学中毫无地位。在给科茨的一封信中，牛顿谈道：“任何不是从现象中推论出来的说法都应称之为假说，而这样一种假说，无论是形而上学的或者是物理学的，无论是属于隐蔽性质的或者是力学性质的，在实验哲学中都没有它们的地位。在实验哲学中，命题都从现象推出，然后通过归纳而使之成为一般。”［5］9譬如引力，引力的本质是未知的，但牛顿认为，科学没有必要去了解那个本质，因为科学试图要理解的是它如何作用，而不是它是什么。我们看到，科学的目的在牛顿这里已经完全转换了，他抛弃了中世纪科学的形上的或神学的追求，转而追求工具的或实用的目的。

总之，在牛顿看来，科学只是由阐述自然的数学行为的定律构成的，这些定律可以从现象中推导出来，并在现象中得到严格的证实。通过对新数学的发明以及对实验的推崇，牛顿第一次把数学方法与实验方法有效地统一起来，从而建构起近代科学史上第一个成熟的科学范型。

[1]爱因斯坦晚年文集[M].方在庆，等译.海口：海南出版社，2000.

[2]伯特.近代物理科学的形而上学基础[M].徐向东，译.北京大学出版社，2003.

[3]恩格斯.自然辩证法[M].北京：人民出版社，1971.

[4]牛顿.自然哲学之数学原理[M].王克迪，译.武汉出版社，1992.

[5]牛顿自然哲学著作选[M].王福山，等译.上海译文出版社，2001.