学科思想的培育与实践：数学教学如何渗透“数学思想与方法”

●陈华忠

【编辑视角】

思想是一切行为的原动力。 学科思想是经过分析、抽象、提炼，形成的对学科发展和学科学习最具有影响力且能够迁移的一些观点、思想和见解；学科方法是根据学科内在的规律和特点，总结归纳出的思维方法、研究方法和学习方法等。 学科思想指导引领学科方法，学科方法则是学科思想的具体化，有时二者也会融合为一。 本期选取的五篇文章，都是从学科思想与方法的角度来探讨学科学习的价值与意义，以期能引起读者的思考。

《数学新课程标准》明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习， 学生应获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识，以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”。 由此可见，数学思想与方法的渗透是新课程改革的一个新的视角。 新教材蕴含着许多数学思想与方法，因此，在小学数学教学中，应根据小学生的认知水平适当地巧妙地渗透基本的数学思想与方法。

一、在钻研教材中挖掘数学思想

如果课前教师对教材内容适合渗透哪些思想方法一无所知，那么课堂教学就不可能有的放矢。由于受篇幅的限制，教材只能较多的呈现数学结论，而对数学结论里面所隐含的数学思想与方法，往往在教材里没有明显地体现。在备课时，我们教师不应只看见直接写在教材上的数学基础知识与技能，而是要认真挖掘蕴含在数学知识中的数学思想，有意识地把掌握数学知识和渗透数学思想方法整合到教学目标之中，并把数学思想与方法恰当地融入教学的各个环节。 为此，我们教师要深入钻研教材，努力挖掘教材中蕴含的数学思想方法，对于每一节课的教学，都应该考虑如何渗透数学思想与方法。 每节课的课堂教学中可以渗透哪些数学思想与方法，应做到心中有数。 如，在教学“圆的面积”这节课时，先把圆分成相等的两部分，再把两个半圆分成若干等分，然后把它剪开，再拼成近似于长方形的图形。如果把圆等分的份数越多，拼成的图形越接近于长方形。这时长方形的面积就越接近圆的面积了。 这部分内容应让学生体会用“无限逼近”的方法来求得圆的面积，这样，既有机地渗透了“极限思想”，也渗透了“转化思想”。又如，在备“鸡兔同笼”一节课时，教师要有意识地向学生渗透并落实以下数学思想与方法： 用容易探究的小数量替代 《孙子算经》 原题中的大数量的“替换法”解决问题，渗透化繁为简的转化思想和方法；用“列表法”解决问题，渗透函数的思想和方法；用“算术法”解决问题，渗透假设的思想和方法；用“方程法”解决问题，渗透代数的思想和方法等等，这些思想方法为学生以后的学习奠定了坚实基础。 由于数学思想与方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法，因此，在分析教材时，应挖掘隐藏在数学知识中的数学思想与方法，明确所要渗透的数学思想方法。

二、在探究体验中感悟数学思想

数学是知识与思想方法的有机结合，没有不包含数学思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的数学思想方法。为此，数学思想方法渗透于数学教学活动过程中，要着重引导学生领会与感悟。在探究活动中，教师要创设情境，营造民主氛围，让学生主动参与数学教学活动过程，并依据学生亲身的体验，逐步领悟数学思想方法。 教学中，可通过以下途径向学生渗透数学思想与方法。

（一）在概念的形成过程中感悟数学分类与集合思想

在概念教学时，“引导学生对新概念的形成过程、结论的推导过程”等等，这些都是向学生渗透数学思想和方法的极好机会。如，教学“三角形分类”一课时，教师预先给学生提供了许多三角形学具，放手让学生在小组合作中尝试对三角形进行分类， 学生从关注三角形的角与边的特征入手，借助学具操作，通过看一看、比一比、量一量、想一想、议一议、分一分等手段，寻找它们的特征、抽象共性，在比较中将具有相同特征的三角形归为一类， 在分类中抽象出图形的共同特征。 这样让学生经历了三角形分类的过程， 丰富了分类活动的经验， 形成分类的基本策略，也有机地渗透了分类、集合的思想。

（二）在计算教学过程中感悟数学转化思想

计算教学往往是把新知转化成旧知， 并借助旧知来学习新知。 如：教学“除数是小数除法”一节课时，其关键就是把除数是小数的除法“转化”成除数是整数的除法进行计算， 知识基础是除数为整数的除法计算法则， 教学中只要将除数是小数转化为整数，问题就迎刃而解。 为此，新课前教师先引导学生回顾“商不变性质”，完成除数是小数的除法转化成除数是整数的除法有关铺垫练习。 再出示例题：“奶奶编‘中国结’，编一个要用 0.85 米丝绳。 有 7.65 米丝绳，可以编几个‘中国结’？”首先让学生读题，分析题意并列出算式，然后放手让学生独立尝试，学生探索时发现算式中除数是小数，这种除法没有学过，怎么办？ 学生思路受阻。 这时教师适当进行点拨：能否根据以前学过的知识解决现在的问题呢？ 学生从前面的复习中很快地感受到只要把除数转化成整数就可以进行计算了。待学生完成计算时，教师让学生想一想，在解这道题的过程中，得到了什么启发？ 使学生感悟到：新知识看起来很难，但只要将所学的新知识与已学过的知识联系起来， 并运用正确的数学思想方法，就能顺利地解决问题。这种解决问题的方法就是数学的转化思想， 转化就是未知的向已知的转化、复杂的向简单的转化，从而让学生感悟到转化思想的作用。

（三）在“空间与图形”的教学过程中感悟数学转化和极限思想

小学数学有关图形的学习， 是先学习直线型图形，如长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形以及长方体等，再学习曲线型图形：圆、圆柱等。在学习曲线型图形有关知识时，就可利用转化方法，将曲线型图形转化为直线型的图形， 利用直线型的相关知识和经验进行解决。如，教学“圆面积的计算”一节课时，首先，教师可以引导学生回顾以前学习过的平行四边形、三角形、梯形面积的计算的推导过程，让学生思考这些图形的面积计算方法是怎么推导出来的；其次，教师引导学生猜想今天所学习的圆能否也转化为以前学过的图形来推导出它的面积计算公式，让学生在旧知的驱动下积极地思考如何转化；最后，教师放手让学生动手操作，可以将圆转化为什么图形，怎么转化，通过剪一剪、拼一拼、议一议，让学生进行小组合作交流，通过讨论交流得出结论：将圆分割成若干等份，拼成近似的长方形或平行四边形，由圆的半径与面积的关系转化为长方形的长、 宽或平行四边形的底、高与面积的关系，再由长方形或平行四边形的面积公式，推导出圆的面积的公式。在圆的面积公式的推导过程中，学生经历化生为熟、化难为易、化曲为直、化繁为简的探索过程，感悟到数学的转化、极限思想。

（四）在解决问题的过程中感悟数学建模思想

在“问题解决”教学时，引导学生动手操作，合作交流，自主探究，并用图表、教具、学具、课件展示等，让学生逐步感悟数学思想与方法。 如，在教学“植树问题”时，教师先出示“在200 米公路一侧植树的现实问题情境， 若两端都种， 每5 米种一棵， 能种几棵?”面对这一挑战性的问题，学生纷纷猜测，有的说：“能种 40 棵。 ”有的说：“能种 41 棵。 ”还有的说：“能种39 棵。”接着教师启发学生思考：“到底能种几棵?你有什么好办法呢?”随着教师的质疑。 学生提出：“我们可以试着种一种，就知道谁说的对了! ”“就用你的办法， 接下来我们利用课件模拟在200 米的线段上种树。 ”教师及时肯定了学生的回答，接着利用课件演示，“每隔5 米种一棵，每隔5 米种一棵，一棵一棵不停地种。 同学们有什么想说的?”伴随着课件演示教师质疑，学生们纷纷回答：“很麻烦。”“要用很长时间。”教师针对学生的回答提出问题：“那怎么办呢?” 有的学生说：“我们可以将 200 米换成20米。 ” 还有的同学说：“换成短一点的距离， 进行探究。 ”师：“好！ 我们先来研究 20 米的种树规律，再用所得到的规律去解决其他复杂的问题，这是一个好的办法，那么大家愿意自己来试试看吗?”这样就自然而然地渗透了化繁为简的数学思想。然后，学生通过摆一摆、画一画、议一议，发现了在两端都种时棵数和间隔数之间的数量关系(即：棵数=间隔数+I)，并顺利地解决了问题。 教师又将问题改为“只种一端、两端都不种时种的棵数又是多少”，学生运用同样的方法兴趣盎然地找到了答案。以上问题的解决过程，给学生体会到当遇到复杂问题时， 不妨退到简单问题，然后从简单问题的研究中去寻找规律，再利用规律去解决复杂问题。 从而让学生感悟“数形结合、数学建模”等数学思想。

三、在知识迁移中运用数学思想与方法

巴甫洛夫指出：“任何一个新的问题的解决都是利用主体经验中已有的旧工具实现的。”也就是说各种新知识都是从旧知识中发展出来的。 小学数学知识是一个整体， 前后教学内容都有一定的内在的必然联系，新知识往往是旧知识的延伸和补充。根据心理学的迁移规律，通过对旧知识的复习，特别是对新旧知识密切联系的问题加以概括， 从新旧知识的紧密联系中，抓住新旧知识的不同点，合乎逻辑地导出即将研究的问题，实现知识的正迁移。从而在知识的迁移过程中，让学生掌握数学思想方法，运用思想方法解决问题。

如，教学“梯形的面积”时，学生可以借助“三角形的面积计算公式”推导的方法，把计算梯形的面积转化为已学过的计算平行四边形的面积， 这就是渗透数学思想方法——“转化思想”的大好时机。 在小学教材中， 平面图形的面积计算公式都是通过原来的图形转化成已学过知识推导出来的。 转化的思想在小学数学教学中有广泛的应用， 将原图形通过旋转、平移、割补等途径加以“变形”，使新知转变成旧知，“求解”也水到渠成。

四、在练习训练时完善数学思想与方法

任何一种数学思想方法的学习和掌握， 绝非一朝一夕的事，它需要有计划、有意识地进行训练。 通过训练这一途径来渗透数学思想方法， 不愧为是一个明智的选择。用训练的方式来渗透数学思想方法，应属于我们教师的创造性劳动。如，有一位教师在学生学习分数加减法后，设计了这样的练习题，组织学生进行训练，既巩固了知识技能，又有机地渗透了数学思想方法，一举两得。

练习过程中，教师利用下图帮助学生理解：

又如：一位教师在学生学习了分数解决问题之后，设计了这样的练习题，组织学生进行训练。即：养鸡场分三次把一批肉鸡投放市场， 第一次卖出的比总数的2／7 多 100 只， 第二次卖出的比总数的 3／7少120 只，第三次卖出320 只。 这批鸡共有多少只？

这道题的特点是分率后面还有个具体数量，给我们的思考带来麻烦。 可以假设没有后面的具体数量，去零为整，这样便于思考。 假设第一次正好卖出总数的2／7，把多的100 只放在第三次卖出，即第三次要多卖出100 只；假设第二次正好卖出总数的3／7，那么少的120 只需要从第三次取来，即第三次要少卖出120 只。 这样，第三次多卖出的只数是320＋100－120=300（只）。由此可求出这批鸡共有 300÷（1－2／7－3／7）=1050（只）。

训练则是在形成技能的基础上向能力转化，提高学生运用知识解决实际问题的能力， 发展学生的思维能力，同时，也渗透数学思想方法。 在练习训练中不仅要有具体知识、技能训练的要求，而且也要有明确的数学思想方法的教学要求， 从这两道练习题中，至少渗透了数形结合、抽象、类比、极限以及假设等数学思想。

五、在归纳总结时提炼数学思想与方法

在数学课堂教学的小结或总结时，可以对所渗透的数学思想方法进行适时概括和提升。这样，不仅可以使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律，而且可使学生感悟到数学思想方法对于学习数学的重要性。如在几何形面积教学中运用转化思想，将原图形通过割补、分割、平移、翻折等途径加以“变形”，把未知的面积计算问题转化成已知图形的面积计算问题，可使题目变难为易，求解也水到渠成。 教材中， 除了长方形的面积计算公式之外， 其他平面图形的面积计算公式都是通过变换原来的图形而得到的。 即：平行四边形通过割补、平移转化成长方形， 三角形和梯形也都可以转化成平行四边形来求出面积。 圆也可以通过分割转化成长方形。 为此，在总结时，引导学生回顾这节学习过程应用到哪些数学的思想与方法， 这些的思想与方法对于今后数学学习都是经常用到的。这样，不仅使学生明确不同图形面积计算的方法， 而且领悟到了比面积计算公式更重要的东西，就是数学的思想与方法。

总之，“思想是数学的灵魂， 方法是数学的行为。”数学教学内容始终反映着数学基础知识和数学思想方法这两个方面， 没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。因此，教学中，让学生亲身经历、感受、体验和领悟数学思想方法， 才能真正地让数学思想方法在与知识能力形成的过程中共同生成。