例谈“根的判别式”的用法

李恩义

〔关键词〕 数学教学；根的判别式；求根公式；韦达定

理；二次三项式

〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）12—00９２—０１

在学习一元二次方程、二次函数以及二次不等式时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式?驻＝b2－4ac，无时不在，无处不有.正确理解“?驻”的真实含义，熟练掌握其用法，不仅对解决相关问题有所帮助，而且对学生进一步弄清这几部分知识间的相互关系十分必要.

一、应用求根公式时，不能忽视“?驻”

例1解关于x的一元二次方程

（m－1）x2＋2mx＋（m＋3）＝0

这类问题最容易出错的是不讨论“?驻”的情况，就用公式法解.其正确的解法为：

解：?驻＝（2m）2－4（m－1）（m＋3）

＝－4（2m－3）

（1）当m≤■且m≠1时，?驻≥0，原方程有两个实数根，x＝■.

（2）当m＞■时，?驻＜0，原方程没有实数根.

二、应用韦达定理时，要注意“?驻”

1.一元二次方程有实根，必须有?驻≥0.

例2k为何值时，方程2x2＋kx－2k＋1＝0的两个实数根的平方和等于■？

解：设α、β是方程的两个实数根，由题意得

?驻＝k２－４×２（１－２k）≥0①α+β=-■②αβ＝■ ③α２+β２＝■④

由②③④得

α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝（－■）2－2×■＝■

解得：k1＝－11，k2＝3.

把k1＝－11和k2＝3分别代人①，可知k1＝－11不满足.因此，k的值是3.

2.a、c异号或两根异号隐含着“?驻＞0”.

对于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）来说，若■＜0，则必有?驻＝b2－4ac＞0成立.因此，解题时，只考虑■＞0即可.两根异号可得到a，c异号，进一步可得?驻＞0.在这两种情况下，不必重复列出?驻＞0的条件.

三、二次三项式 ax2＋bx＋c是完全平方式的充要条件为“?驻＝0”

设ax2＋bx＋c＝0，由于a≠0，故配方有

（x＋■）2＝■

显然?驻＝0，则方程有两个相等的实数根，ax2＋bx＋c是一个完全平方式；反之，ax2＋bx＋c是完全平式，方程有两个相等的实数根，则?驻＝0.

例3已知多项式2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2是一个完全平方式，求证：a＋c＝2b.

证明：∵关于x的一元二次方程2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2＝0有两个相等的实数根，故?驻＝0，即

［2（a－c）］2－4×2×［（a－b）2＋（b－c）2］＝0

整理得a2＋4b2＋c2－4ab－4bc＋2ac＝0，即（a－2b＋c）2

＝0

∴a－2b＋c＝0，

故有a＋c＝2b成立.

四、二次函数的图象和x轴的交点数与“?驻”相关

抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数一致.

例４求证：抛物线y＝x2＋（k＋3）x＋2k－k2与x轴总有两个交点.

证明：由方程y＝x2＋（k＋3）x＋（2k－k2）＝0，得

?驻＝（k＋3）2－4（2k－k2）

＝5k2－2k＋9

＝5（k－■）2＋■，

∵无论k取何实数值（k－■）2≥0，

∴?驻＝5（k－■）2＋■＞0，

∴抛物线y＝x2＋(k＋3)x＋2k－k2与x轴总有两个交点. 编辑：谢颖丽

endprint

〔关键词〕 数学教学；根的判别式；求根公式；韦达定

理；二次三项式

〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）12—00９２—０１

在学习一元二次方程、二次函数以及二次不等式时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式?驻＝b2－4ac，无时不在，无处不有.正确理解“?驻”的真实含义，熟练掌握其用法，不仅对解决相关问题有所帮助，而且对学生进一步弄清这几部分知识间的相互关系十分必要.

一、应用求根公式时，不能忽视“?驻”

例1解关于x的一元二次方程

（m－1）x2＋2mx＋（m＋3）＝0

这类问题最容易出错的是不讨论“?驻”的情况，就用公式法解.其正确的解法为：

解：?驻＝（2m）2－4（m－1）（m＋3）

＝－4（2m－3）

（1）当m≤■且m≠1时，?驻≥0，原方程有两个实数根，x＝■.

（2）当m＞■时，?驻＜0，原方程没有实数根.

二、应用韦达定理时，要注意“?驻”

1.一元二次方程有实根，必须有?驻≥0.

例2k为何值时，方程2x2＋kx－2k＋1＝0的两个实数根的平方和等于■？

解：设α、β是方程的两个实数根，由题意得

?驻＝k２－４×２（１－２k）≥0①α+β=-■②αβ＝■ ③α２+β２＝■④

由②③④得

α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝（－■）2－2×■＝■

解得：k1＝－11，k2＝3.

把k1＝－11和k2＝3分别代人①，可知k1＝－11不满足.因此，k的值是3.

2.a、c异号或两根异号隐含着“?驻＞0”.

对于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）来说，若■＜0，则必有?驻＝b2－4ac＞0成立.因此，解题时，只考虑■＞0即可.两根异号可得到a，c异号，进一步可得?驻＞0.在这两种情况下，不必重复列出?驻＞0的条件.

三、二次三项式 ax2＋bx＋c是完全平方式的充要条件为“?驻＝0”

设ax2＋bx＋c＝0，由于a≠0，故配方有

（x＋■）2＝■

显然?驻＝0，则方程有两个相等的实数根，ax2＋bx＋c是一个完全平方式；反之，ax2＋bx＋c是完全平式，方程有两个相等的实数根，则?驻＝0.

例3已知多项式2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2是一个完全平方式，求证：a＋c＝2b.

证明：∵关于x的一元二次方程2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2＝0有两个相等的实数根，故?驻＝0，即

［2（a－c）］2－4×2×［（a－b）2＋（b－c）2］＝0

整理得a2＋4b2＋c2－4ab－4bc＋2ac＝0，即（a－2b＋c）2

＝0

∴a－2b＋c＝0，

故有a＋c＝2b成立.

四、二次函数的图象和x轴的交点数与“?驻”相关

抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数一致.

例４求证：抛物线y＝x2＋（k＋3）x＋2k－k2与x轴总有两个交点.

证明：由方程y＝x2＋（k＋3）x＋（2k－k2）＝0，得

?驻＝（k＋3）2－4（2k－k2）

＝5k2－2k＋9

＝5（k－■）2＋■，

∵无论k取何实数值（k－■）2≥0，

∴?驻＝5（k－■）2＋■＞0，

∴抛物线y＝x2＋(k＋3)x＋2k－k2与x轴总有两个交点. 编辑：谢颖丽

endprint

〔关键词〕 数学教学；根的判别式；求根公式；韦达定

理；二次三项式

〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）12—00９２—０１

在学习一元二次方程、二次函数以及二次不等式时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式?驻＝b2－4ac，无时不在，无处不有.正确理解“?驻”的真实含义，熟练掌握其用法，不仅对解决相关问题有所帮助，而且对学生进一步弄清这几部分知识间的相互关系十分必要.

一、应用求根公式时，不能忽视“?驻”

例1解关于x的一元二次方程

（m－1）x2＋2mx＋（m＋3）＝0

这类问题最容易出错的是不讨论“?驻”的情况，就用公式法解.其正确的解法为：

解：?驻＝（2m）2－4（m－1）（m＋3）

＝－4（2m－3）

（1）当m≤■且m≠1时，?驻≥0，原方程有两个实数根，x＝■.

（2）当m＞■时，?驻＜0，原方程没有实数根.

二、应用韦达定理时，要注意“?驻”

1.一元二次方程有实根，必须有?驻≥0.

例2k为何值时，方程2x2＋kx－2k＋1＝0的两个实数根的平方和等于■？

解：设α、β是方程的两个实数根，由题意得

?驻＝k２－４×２（１－２k）≥0①α+β=-■②αβ＝■ ③α２+β２＝■④

由②③④得

α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝（－■）2－2×■＝■

解得：k1＝－11，k2＝3.

把k1＝－11和k2＝3分别代人①，可知k1＝－11不满足.因此，k的值是3.

2.a、c异号或两根异号隐含着“?驻＞0”.

对于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）来说，若■＜0，则必有?驻＝b2－4ac＞0成立.因此，解题时，只考虑■＞0即可.两根异号可得到a，c异号，进一步可得?驻＞0.在这两种情况下，不必重复列出?驻＞0的条件.

三、二次三项式 ax2＋bx＋c是完全平方式的充要条件为“?驻＝0”

设ax2＋bx＋c＝0，由于a≠0，故配方有

（x＋■）2＝■

显然?驻＝0，则方程有两个相等的实数根，ax2＋bx＋c是一个完全平方式；反之，ax2＋bx＋c是完全平式，方程有两个相等的实数根，则?驻＝0.

例3已知多项式2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2是一个完全平方式，求证：a＋c＝2b.

证明：∵关于x的一元二次方程2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2＝0有两个相等的实数根，故?驻＝0，即

［2（a－c）］2－4×2×［（a－b）2＋（b－c）2］＝0

整理得a2＋4b2＋c2－4ab－4bc＋2ac＝0，即（a－2b＋c）2

＝0

∴a－2b＋c＝0，

故有a＋c＝2b成立.

四、二次函数的图象和x轴的交点数与“?驻”相关

抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数一致.

例４求证：抛物线y＝x2＋（k＋3）x＋2k－k2与x轴总有两个交点.

证明：由方程y＝x2＋（k＋3）x＋（2k－k2）＝0，得

?驻＝（k＋3）2－4（2k－k2）

＝5k2－2k＋9

＝5（k－■）2＋■，

∵无论k取何实数值（k－■）2≥0，

∴?驻＝5（k－■）2＋■＞0，

∴抛物线y＝x2＋(k＋3)x＋2k－k2与x轴总有两个交点. 编辑：谢颖丽

endprint