“三关系法”在扭转与弯曲分析中的应用

张 睿 智

(中国矿业大学(北京)资源与安全工程学院，北京 100083)

“三关系法”在扭转与弯曲分析中的应用

张 睿 智

(中国矿业大学(北京)资源与安全工程学院，北京 100083)

对“三关系法”即变形几何关系、应力应变关系、静力学关系进行了名词阐释，介绍了“三关系法”在扭转与弯曲中的分析方法，并结合实例作了说明，有助于实际工作及学习的参考应用。

变形，应力，静力，关系，扭转，弯曲

扭转与弯曲来自于材料力学中最基本的两种力的形式：剪切与拉压，是构成复杂材料变形的最简单变形形式。可以说，想学好材料力学这座高堂广厦，扭转与弯曲的地位就好比地基一般。同样，在校核材料强度上，对扭转和弯曲的应力求取是必不可少的，然而较之于一般的剪切应力和拉压应力的定义式求法，前者或需要更缜密的分析和计算。本文即将用“三关系法”向读者介绍求取这两种应力的分析方法。所谓“三关系法”即“变形几何关系—应力应变关系—静力学关系”分析方法。需要说明的是，在如今的高等院校中，学生倾向于直接死记硬背求解应力的公式，对推导过程一知半解，而实际上，了解求取过程有助于同学理解和记忆公式，同时掌握最根本的有限元分析法也是步入实际场景、进入现实工作当中必不可少的技能。

1 名词释义

1)变形几何关系。变形几何关系的研究对象是从变形体上截取的顺应变形的有限元，同样遵循平截面假设和圣维南原理。我们将根据其变形前后在特定方向上的角度和长度变化得到应变表达式。

2)应力应变关系。应力应变关系即胡克定律，它将应力与应变结合起来，通过应变得到应力。在这里，扭转用到剪切胡克定律τ=Gγ，弯曲用到胡克定律σ=Eε。

3)静力学关系。静力学关系是通过对微元力的积分与力偶矩建立关系，并引入惯性矩的概念，最终将不可求的微元素转化为可求解的量，是对胡克定律建立起的应力表达式的完善。

2 “三关系法”在扭转与弯曲中的分析方法

1)“三关系法”在扭转中的分析方法。

a.变形几何关系。如图1所示为一仅受扭转的轴的单元体，在距轴线为ρ的地方，根据几何关系其切应变为：

γρdx=ρdφ。

即：

(1)

b.应力应变关系。切应力与切应变服从剪切胡克定律：

τ=Gγ

(2)

将式(1)代入式(2)可以求得距轴线为ρ处的切应力为:

(3)

c.静力学关系。圆轴扭转时，平衡外力偶矩的扭矩是由横截面上无数的微剪力组成的。各微剪力对轴线之矩的总和，即为该截面上的扭矩，即：

T=∫AρτρdA

(4)

将式(3)代入式(4)得：

(5)

将式(5)代入式(3)得:

随即得到剪切应力公式。

2)“三关系法”在弯曲中的分析方法。

a.变形几何关系。取微段梁来分析，其变形后的情况如图2所示。现研究距中性层y处纵向纤维b′b′的变形。

纵向线应变为:

(6)

b.应力应变关系。正应力与线应变的关系服从胡克定律：

σ=Eε。

将式(6)代入得：

(7)

c.静力学关系。确定中性轴的位置和曲率：

y轴为对称轴；z轴为中性轴，其位置暂未知；x轴为过原点且平行于轴线(见图3)。

(8)

将式(7)代入式(8)得:

(9)

将式(9)代入式(7)得:

随即得到弯曲应力公式。

3 典例分析

以“三关系法”在扭转中的应用，我们来计算工程中常用的“U”形梁的剪切应力(如图4所示)，已知梁所受的扭矩T以及它的尺寸。

1)变形几何关系。将“U”形梁补充成为截面为圆的梁，则其有限元同图1，应变表达式不变，如下：

γρdx=ρdφ。

即：

(10)

2)应力应变关系。切应力与切应变服从剪切胡克定律：

τ=Gγ

(11)

将式(10)代入式(11)可以求得距轴线为ρ处的切应力为：

(12)

3)静力学关系。取截面上的微剪力，同样积分得到扭矩表达式：

T=∫AρτρdA

(13)

将式(12)代入式(13)得:

(14)

将式(14)代入式(12)得:

(15)

现在，只需把ρ关于图4截面的函数用MATLAB拟合出来，然后求积分∫AρdA，把结果代入式(15)即可。

4 结语

关于异形梁的应力的求取我们可以采用“三关系法”，即变形几何关系—应力应变关系—静力学关系。这种方法有效规避了学生死记硬背公式在实际场景中的尴尬，强化知识的理解，强调运用，是互动—启发式教育的典型学习、分析方法。

[1] 北京科技大学,东北大学.工程力学材料力学[M].北京：高等教育出版社,2008.

[2] 宫伟力,赵帅阳,彭岩岩.工程力学的互动启发式教学法探讨[J].科教文汇,2014(270)：49.

On application of “three-relation method” in analysis of torque and flexural loads

ZHANG Rui-zhi

(SchoolofResourcesandSafetyEngineering,ChinaUniversityofMiningandTechnology(Beijing),Beijing100083,China)

The paper introduces and interprets the “three-relation method”, including the geometrical relationship of deformation, the stress-strain relationship and the statics relation, introduces the analysis method of the method in the torque and flexural loads, and indicates by adopting some examples, so as to provide some reference for its application in work and study.

deformation, stress, statics, relation, torque, flexural load

1009-6825(2014)17-0047-02

2014-04-05

张睿智(1993- )，女，在读本科生

TU311

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