让推导公式的过程更加自然

吉智深

我们发现在多边形面积教学中，一些教师不知道教材为什么这样编写，也不知道如何引导学生思考，学生对教师给出的推导方法觉得很突然，为什么教师只讲通过一种方法得到的计算公式，不讲其他方法得到的公式，学生对此也很茫然。如：平行四边形面积计算公式和三角形面积计算公式推导，为什么要把这些图形放在方格子纸上？为什么要先用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，再来求三角形的面积？梯形面积计算公式的推导为什么又不用数格子呢？算出一个梯形面积的方法很多，为什么只讲通过“扩拼法”得到的公式，不讲用其他方法得到的梯形面积计算公式？……其实，这些问题，波利亚的怎样解题表给了我们很好的答案。那么波利亚的怎样解题表是什么样子？波利亚的怎样解题表与多边形面积教学之间到底存在什么关联？如何用波利亚的怎样解题表指导多边形面积的教学，让公式推导的过程更加自然呢？下面就这些问题谈谈笔者的粗浅认识。

一、 波利亚的怎样解题表

乔治·波利亚是美籍匈牙利数学家、教育家、数学解题方法论的开拓者。他十分重视解题在数学学习中的作用，并对解题方法进行了多年的研究和实践，绘制出一张风靡世界的解题表，以下就是波利亚的怎样解题表：

第一，你必须弄清问题（弄清问题）。

（1）未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者它是多余的？或者是矛盾的？

（2）要张图，引入适当的符号。

（3）把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？

第二，找出已知数与未知数之间的关系；如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题；你应该最终得出一个求解的计划（拟定计划）。

（1）你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？

（2）你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？

（3）看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉问题。

（4）这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它？（你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？）为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？

（5）你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？

（6）回到定义去。

（7）如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题，你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？

（8）你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？

（9）你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

第三，实行你的计划（实现计划）。

（1）实现你的求解计划，检验每一步骤。

（2）你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？

第四，验算所得到的解（回顾）。

（1）你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？

（2）你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？

二、 回到定义去—— “数方格”是测量（估计）图形面积的基本方法

“回到定义去”在数学解题中是一项重要的思维活动，波利亚将这一重要思维活动列在“解题表”的显著位置。当我们没有办法来解决一个问题时，回到定义可能是我们唯一能做的事情。

在平行四边形面积公式教学时，学生已经知道一个图形由6个1平方厘米的正方形拼成，那么这个图形的面积就是6平方厘米，学生也知道用这种方法（回到定义去）可以测量（估算）出不规则图形的面积。

苏教版五年级上册是通过第12页的例2，来引入教学的。

在教学中，我们是不是可以这样改：教师先给出一个平行四边形，再引导学生用数格子的方法（回到定义去）来数出平行四边形的面积，这样的引导让学生感觉到很自然，然后把这个平行四边形放在透明方格纸下，也就会出现象例2这样的图形。这时候，教师不要急着提问“你能把例2的平行四边形转化成长方形吗？”并让学生想办法得出它的面积，而应在学生用不满一个算半格的方法得出平行四边形的面积后，提醒学生：这种方法得出的面积可能不精确，能不能有精确的方法得到它的面积？这样就会激发学生的探究欲。为什么要拼成长方形？不是教材要求把它拼成长方形我们就剪拼成长方形。如果可能直接得到平行四边形面积计算公式（事实上，这样的公式是有的），那么还要转化做什么呢？剪拼成长方形得到准确的结果应该是发自学生内心的需要。

这样的引入也可以适用于圆面积的引入，台湾地区的小学教材创设了学生熟悉的“数方格”，估计出圆的面积，并且给出了具体的操作办法，“先算这个圆形的是多少，再乘以4就算出来了”。这样的引入基于学生的已有经验，遵循了学生的认知发展规律，对于唤起他们对圆面积计算方法的探究欲望，起到了积极的作用。

如何找到好的方法，准确求出平行四边形等其他图形的面积，就是学生接下来要考虑的问题。

三、 特殊化——获得解题思路的好方法

特殊化是与一般化相对而言的一种合情推理形式，它是从对象的一个给定集合转而考虑其中较小集合。数学发现和问题求解时，进行特殊化可能得到启发。正如波利亚所强调的，注意到特殊情况的观察，能够导致一般性的数学结果，也可以启发出一般性的证明方法。

回到三角形面积的计算教学，我们已经解决了为什么要把三角形放在正方形的小方格中，通过数格子让学生自主发现推导公式的方法。接下来的问题是怎样放？放哪一种三角形？事实证明：应先考虑一种特殊的三角形——直角三角形，因为要精确求出图1中直角三角形的面积，学生最容易想到，先求一个长为6，宽为4的长方形面积，然后再除以2，便得到这个三角形的面积。教师提问：组成这个长方形的另一部分是一个什么图形？它和所给直角三角形有什么关系？如果学生还不能确信，可以让他们把另一个三角形剪下来，拼一拼，进一步验证自己的结论。

接下来就自然引入到：通过两个完全相同的直角三角形拼成一个长方形求出直角三角形的准确面积，那么图2中钝角三角形和图3中锐角三角形又能通过拼成什么图形来求出它们的面积？

图2 图3

最后归纳出：无论哪一种三角形，都可以通过用两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形，三角形的底是平行四边形的底，三角形的高是平行四边形的高，三角形的面积等于所拼平行四边形面积的一半。

澳门地区的小学教材也是通过从特殊情况入手，引入圆面积的教学：一张正方形纸，对角折数次，剪一刀，展开来就是一张近似圆形的纸，折痕之间的一点是圆心。随着折的次数愈多，剪成的圆形愈接近圆形。这个圆形的面积，可以看成是这些等腰三角形的面积的和。

学生在学习过程中积累了更多的解题经验以后，再遇到一个新问题时，教师应该引导启发学生选择正确、合理的思路去解决它，如果解题遇阻，至少应该想到一种最接近的方法（可能不能仅仅停留在回到定义去或者特殊化）去试验它。那么如何启发呢？

四、 启发法——波利亚解题思想的精髓

学生学习了三角形和平行四边形面积计算公式以后，接着就学习梯形面积计算公式了。面对一个从未接触的问题，如何启发学生比较自然地产生解题的“念头”，是摆在教师面前的第一要务。波利亚的怎样解题表的精髓就是启发我们去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧：“……这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?……”“求平行四边形面积公式所用的方法是：割拼法。三角形面积公式所用的方法是：扩拼法。教师提醒学生：你能利用这些方法吗？”让学生有解决这个问题的两个念头：用割拼法和扩拼法。有了这两个“念头”，下面就让学生去试一试。笔者在前些年观摩了南通市崇川区青年教师教学比赛，所有五年级的老师都上梯形面积的计算这节课，我发现，一些老师只讲“扩拼法”，而对“割拼法”重视不够，当学生把梯形一边剪下一个直角三角形拼到梯形另一侧，发现不能拼成一个长方形。教师因为知道这个方法对一般梯形不适用，如果讲了会把学生带上歧途，所以对讲这种方法的学生不管不顾。事实上，老师的这种做法是不可取的。波利亚《怎样解题》这本书中指出:也许有些念头会把你引入歧途，但这并不可怕，在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后会突然闪出一个好念头，最糟糕的是没有任何念头，还笨头呆脑地干等着某个念头的降临。学生可能正因为这种割拼法不行，从而想到其他剪拼法。比如：第一，在梯形的另一边也剪下一个直角三角形，把两边的直角三角形拼成一个三角形，如图4所示。第二，沿梯形对角线剪开，转化成求两个三角形的面积，如图5所示。第三，把梯形剪成一个平行四边形和一个三角形，再求出它们面积的和，从而得到梯形的面积，如图6所示。

可能还有更多种不同的剪拼方法，通过这些方法都求出了梯形的面积，也能得到梯形的面积计算公式，但绝大多数教师只讲通过“扩拼法”得到的梯形面积计算公式，即梯形面积=（上底+下底）×高，也只要求记住这个公式。为什么不讲用其他方法得到的梯形面积计算公式，比如通过图6我们可以得到梯形的面积=（下底-上底）×高+上底×高，也不要求学生死记住它？为了让学生理解其中的道理，就离不开对解题过程的回顾与反思。

五、 回顾——解题不可缺少的一个环节

在多边形面积公式推导过程中，教师都忽视了一个重要环节——回顾。我们还是以上面讨论的问题为例：梯形面积=（上底+下底）×高，为什么不能讲梯形的面积=（下底-上底）×高+上底×高？可能有些老师说：第二个公式可以化为第一个公式，因为学生没有学过如何化简，所以不能讲第二个公式，这是一个理由，但不是我们不去回顾的理由。我们可以引导学生从以下两个方面去回顾：一、两个公式哪一个公式更简单，学生一看就知道了。二、哪一个公式，你能一下子说出为什么有这个公式。学生肯定会一下子说出：两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，（上底+下底）等于这个平行四边形的底， （上底+下底）×高等于这个平行四边形的面积，而所求梯形的面积等于这个平行四边形面积的一半。通过这样的回顾既让学生回忆了解题方法，又记住了这个公式，何乐而不为。通过以上的回顾，也给出了为什么只要求学生记住梯形面积=（上底+下底）×高的理由，这样的教学过程就更加自然了。

引导学生形成良好的解题反思习惯，让他们的解题能力和思维品质在更深和更高层次得到有效提高和升华，这应该是每一位数学教师所追求的目标。

总之，波利亚的怎样解题表教会了我们如何思考，教师的教学应该自然地展示思考过程，帮助学生自己再发现所教的内容，发展学生自己的能力，学生学会不断地自我提问、不断地自我建议，驱使自己主动地去分析问题与解决问题，不断丰富自己解决问题的能力。

【责任编辑：陈国庆】

学生学习了三角形和平行四边形面积计算公式以后，接着就学习梯形面积计算公式了。面对一个从未接触的问题，如何启发学生比较自然地产生解题的“念头”，是摆在教师面前的第一要务。波利亚的怎样解题表的精髓就是启发我们去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧：“……这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?……”“求平行四边形面积公式所用的方法是：割拼法。三角形面积公式所用的方法是：扩拼法。教师提醒学生：你能利用这些方法吗？”让学生有解决这个问题的两个念头：用割拼法和扩拼法。有了这两个“念头”，下面就让学生去试一试。笔者在前些年观摩了南通市崇川区青年教师教学比赛，所有五年级的老师都上梯形面积的计算这节课，我发现，一些老师只讲“扩拼法”，而对“割拼法”重视不够，当学生把梯形一边剪下一个直角三角形拼到梯形另一侧，发现不能拼成一个长方形。教师因为知道这个方法对一般梯形不适用，如果讲了会把学生带上歧途，所以对讲这种方法的学生不管不顾。事实上，老师的这种做法是不可取的。波利亚《怎样解题》这本书中指出:也许有些念头会把你引入歧途，但这并不可怕，在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后会突然闪出一个好念头，最糟糕的是没有任何念头，还笨头呆脑地干等着某个念头的降临。学生可能正因为这种割拼法不行，从而想到其他剪拼法。比如：第一，在梯形的另一边也剪下一个直角三角形，把两边的直角三角形拼成一个三角形，如图4所示。第二，沿梯形对角线剪开，转化成求两个三角形的面积，如图5所示。第三，把梯形剪成一个平行四边形和一个三角形，再求出它们面积的和，从而得到梯形的面积，如图6所示。

可能还有更多种不同的剪拼方法，通过这些方法都求出了梯形的面积，也能得到梯形的面积计算公式，但绝大多数教师只讲通过“扩拼法”得到的梯形面积计算公式，即梯形面积=（上底+下底）×高，也只要求记住这个公式。为什么不讲用其他方法得到的梯形面积计算公式，比如通过图6我们可以得到梯形的面积=（下底-上底）×高+上底×高，也不要求学生死记住它？为了让学生理解其中的道理，就离不开对解题过程的回顾与反思。

五、 回顾——解题不可缺少的一个环节

在多边形面积公式推导过程中，教师都忽视了一个重要环节——回顾。我们还是以上面讨论的问题为例：梯形面积=（上底+下底）×高，为什么不能讲梯形的面积=（下底-上底）×高+上底×高？可能有些老师说：第二个公式可以化为第一个公式，因为学生没有学过如何化简，所以不能讲第二个公式，这是一个理由，但不是我们不去回顾的理由。我们可以引导学生从以下两个方面去回顾：一、两个公式哪一个公式更简单，学生一看就知道了。二、哪一个公式，你能一下子说出为什么有这个公式。学生肯定会一下子说出：两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，（上底+下底）等于这个平行四边形的底， （上底+下底）×高等于这个平行四边形的面积，而所求梯形的面积等于这个平行四边形面积的一半。通过这样的回顾既让学生回忆了解题方法，又记住了这个公式，何乐而不为。通过以上的回顾，也给出了为什么只要求学生记住梯形面积=（上底+下底）×高的理由，这样的教学过程就更加自然了。

引导学生形成良好的解题反思习惯，让他们的解题能力和思维品质在更深和更高层次得到有效提高和升华，这应该是每一位数学教师所追求的目标。

总之，波利亚的怎样解题表教会了我们如何思考，教师的教学应该自然地展示思考过程，帮助学生自己再发现所教的内容，发展学生自己的能力，学生学会不断地自我提问、不断地自我建议，驱使自己主动地去分析问题与解决问题，不断丰富自己解决问题的能力。

【责任编辑：陈国庆】

学生学习了三角形和平行四边形面积计算公式以后，接着就学习梯形面积计算公式了。面对一个从未接触的问题，如何启发学生比较自然地产生解题的“念头”，是摆在教师面前的第一要务。波利亚的怎样解题表的精髓就是启发我们去联想。联想什么？怎样联想？让我们看一看他在表中所提出的建议和启发性问题吧：“……这里有一个与你现在的问题有联系且早已解决的问题，你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素?……”“求平行四边形面积公式所用的方法是：割拼法。三角形面积公式所用的方法是：扩拼法。教师提醒学生：你能利用这些方法吗？”让学生有解决这个问题的两个念头：用割拼法和扩拼法。有了这两个“念头”，下面就让学生去试一试。笔者在前些年观摩了南通市崇川区青年教师教学比赛，所有五年级的老师都上梯形面积的计算这节课，我发现，一些老师只讲“扩拼法”，而对“割拼法”重视不够，当学生把梯形一边剪下一个直角三角形拼到梯形另一侧，发现不能拼成一个长方形。教师因为知道这个方法对一般梯形不适用，如果讲了会把学生带上歧途，所以对讲这种方法的学生不管不顾。事实上，老师的这种做法是不可取的。波利亚《怎样解题》这本书中指出:也许有些念头会把你引入歧途，但这并不可怕，在明显失败的尝试和一度犹豫不决之后会突然闪出一个好念头，最糟糕的是没有任何念头，还笨头呆脑地干等着某个念头的降临。学生可能正因为这种割拼法不行，从而想到其他剪拼法。比如：第一，在梯形的另一边也剪下一个直角三角形，把两边的直角三角形拼成一个三角形，如图4所示。第二，沿梯形对角线剪开，转化成求两个三角形的面积，如图5所示。第三，把梯形剪成一个平行四边形和一个三角形，再求出它们面积的和，从而得到梯形的面积，如图6所示。

可能还有更多种不同的剪拼方法，通过这些方法都求出了梯形的面积，也能得到梯形的面积计算公式，但绝大多数教师只讲通过“扩拼法”得到的梯形面积计算公式，即梯形面积=（上底+下底）×高，也只要求记住这个公式。为什么不讲用其他方法得到的梯形面积计算公式，比如通过图6我们可以得到梯形的面积=（下底-上底）×高+上底×高，也不要求学生死记住它？为了让学生理解其中的道理，就离不开对解题过程的回顾与反思。

五、 回顾——解题不可缺少的一个环节

在多边形面积公式推导过程中，教师都忽视了一个重要环节——回顾。我们还是以上面讨论的问题为例：梯形面积=（上底+下底）×高，为什么不能讲梯形的面积=（下底-上底）×高+上底×高？可能有些老师说：第二个公式可以化为第一个公式，因为学生没有学过如何化简，所以不能讲第二个公式，这是一个理由，但不是我们不去回顾的理由。我们可以引导学生从以下两个方面去回顾：一、两个公式哪一个公式更简单，学生一看就知道了。二、哪一个公式，你能一下子说出为什么有这个公式。学生肯定会一下子说出：两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，（上底+下底）等于这个平行四边形的底， （上底+下底）×高等于这个平行四边形的面积，而所求梯形的面积等于这个平行四边形面积的一半。通过这样的回顾既让学生回忆了解题方法，又记住了这个公式，何乐而不为。通过以上的回顾，也给出了为什么只要求学生记住梯形面积=（上底+下底）×高的理由，这样的教学过程就更加自然了。

引导学生形成良好的解题反思习惯，让他们的解题能力和思维品质在更深和更高层次得到有效提高和升华，这应该是每一位数学教师所追求的目标。

总之，波利亚的怎样解题表教会了我们如何思考，教师的教学应该自然地展示思考过程，帮助学生自己再发现所教的内容，发展学生自己的能力，学生学会不断地自我提问、不断地自我建议，驱使自己主动地去分析问题与解决问题，不断丰富自己解决问题的能力。

【责任编辑：陈国庆】