我“错”在哪儿了

边小明+边巨星

在学习活动中，有一种有趣的现象：学了后续的知识，却对先前学习的知识识记造成了干扰，心理学中叫做“后摄抑制”。笔者在教学《商不变性质》后的练习中，就遇上了这种典型的心理现象。

课堂回放：

教师出示练习：

860÷40=（）……（）

我在学生中间巡视的时候，惊奇地发现很多学生是如下列算式的：

稍后我与他们校对结果，竟然有一半是这样做的。

师：现在出现了两种结果：21……20和21……2，哪一种是正确的？如何验证？

生：我们可以用除数乘商，然后加上余数，看看结果是不是860。

师：行，请同学们把自己的结果验算一下。

生1：验算后21……20是正确的。

生2：按这样的验算方法，我的结果（21……2）好像不对。但是我又对我的竖式也进行了重新验算，21……2也是正确的啊！（他重新审视了自己的竖式）我错在哪里了呢？

该生一脸的茫然。

师：说说你计算这道题的过程。

生2：因为860÷40这个算式中，被除数与除数都是整百、整十数，所以我就分别去掉一个零后计算。

师：（适时介入）你这样做的理由能说一下吗？

生2：我是运用商不变性质，就是被除数和除数同时缩小10倍，商不变。

师：请继续说你的计算过程。

生2：这样就变成了86÷4=21……2。我算了好几遍都是这样的结果。

师：我把你的思考过程写下来，大家一起来交流，问题在哪里？

板书：860÷40=86÷4=21 ……2

观察并讨论：我错在哪里了？

生：（纷纷）第一步到第二步是对的，第二步到第三步也是对的，为什么结果却是错的呢？真奇怪。（急切地）老师快告诉我们，到底错在哪里了？

师：这里运用了商不变性质，它告诉我们商不变，有没有说余数也不变？

生：没有。

师：我们学习的除法算式中，余数和谁的关系密切？

生：和除数有关，余数不能比除数大。

师：对，看看从第一步到第二步，虽然是相等的，但是除数却？

生：缩小了10倍。

师：是的，对比一下正确的结果和这个算式，大胆猜一下，余数会怎么变？

生（思考后）试探着说：也缩小10倍吗？

师：30÷20与3÷2，对比一下商与余数。

生3：商相同，余数缩小十倍。

生4：哦，我有点明白了，运用商不变性质计算有余数的除法，不变的只是商，余数是有变化的。

生5：而且余数的变化倍数是和除数、被除数的变化倍数相同的。

师：同学们说的都很好，其实以后我们就会知道，这个算式并没有“错”。

（略微停顿，学生都感到很好奇，明明不对，还说没有“错”？）

师：我们现在学到：两个数相除，正好能平均分，得到结果用整数表示，如果不能恰好分完，就用余数表示。以后我们还会学到：不能恰好分完的情况，还能用另外的数表示。

生（个别学生）：我知道，可以用小数和分数。

师：对，这两个结果其实可以用同一个数来表示，我们以后会再学习。

生：哈，这个可真有趣，好神奇。

……

860÷40=()……( )，如果在学习“商不变性质”前让学生做，他们会进行正常的计算多半不会出现疑惑。而在学习了“商不变性质”之后，却产生了有趣而典型的“后摄抑制”现象，形成了学习干扰。这种现象是一种邂逅还是不可避免？如何顺势引导让学生解开心中之惑？这可以给我们的教学以怎样的启示？笔者经历了课堂实践后有了更深的感受。

一、 “错”可以避免吗？不妨顺水推舟

心理学研究表明，后摄抑制作为一种思维活动现象，它是学生对所学知识的一种思维迁移，不可避免。学习材料相似性越大，就越容易发生。所以，当学生熟练掌握了商不变性质并运用在计算过程中时，“因为860÷40这个算式中，被除数与除数都是整十数，所以我就各去掉一个零后计算”，错得顺理成章。而且他们对商不变性质的理解程度越高，出错的概率也就越大，这是由于相似学习材料中，如果后学习材料的掌握程度越牢固，对先前知识的干扰就越强。如果明白这一点，教师就能理解学生错误产生的原因，而且笔者认为教师需要“有意识”地引导学生经历由这种负迁移而产生的错误。《学记》云“君子知至学之难易而知其美恶，然后能博喻”。高明的教师应该洞察学生的认知规律，善于制造思维矛盾，挑起学生的自我认知分歧，然后站在一旁欣赏学生在辨析思考中慢慢迈上前行的路途。这样的教学更加有利于学生分辨学习材料的异同，这种错误更加有助于学生进行自我反思，有助于学生更好地理解与掌握知识，从而培养其思维的深刻性。

二、 “讲”还是“不讲”？理应拨云见日

学生理解等式具有传递性，即若A=B,B=C,则A=C。而在此让他们思考860÷40=86÷4，86÷4=21 ……2，但是860÷40≠21 ……2，这是为什么？学生能想通吗？这种情形下教师“讲”还是“不讲”？若不讲，学生始终会在“茫然之中”问“我错在哪里了？”以后还会再次陷入错误。所以笔者以为理应让学生对“错在哪里”有所感悟。那么如何让学生以可以理解和接受的方式来进行教学引导呢？经验学的观点告诉我们，学生的思考多是按自己的直观经验逻辑，不是按大自然的科学逻辑。按他们的逻辑与经验基础，引导他们到科学的大道上来，是我们教师的任务。鉴于此，在教学中，笔者从“商不变性质，它告诉我们商不变，有没有说余数也不变？”入手，引导学生观察“被除数与除数变化的同时，余数如何变化”，引导学生猜想，验证自己的想象与得出结论，从而明白“运用商不变性质计算有余数的除法，不变的只是商，余数是有变化的”，“而且余数的变化倍数是和除数、被除数的变化倍数相同的”这样的数学事实，虽然是浅尝即止，但是却让学生对“有余数的除法不能轻易用商不变性质来运算”有了深刻的领悟和感受。

三、 如何把握“深度”？可以未雨绸缪

当然，出现这种错误除了“后摄抑制”的影响，还有学生知识认知层次的局限性。两个数相除当出现结果不是整数的时候，在四年级阶段只能以“商……余数”的形式表示，这是结果表达的一种特殊形式。只有当学生学习了“除法与分数”的关系以及“约分”的知识后，学生才会明白：任何除法计算都可以用分数表示两个数相除的结果，而这个结果虽然表达的形式会有所不同，但是其实质是相同的。如把860÷40的结果表示成，86÷4的结果表示成，形异而质同。但这个道理若让四年级学生有深刻的理解，显然力所不逮。所以笔者选择“其实以后我们就会知道，这个算式并没有‘错”。从而激起学生的好奇心与兴趣，而后指明“我们现在学到：两个数相除，正好能平均分，得到结果用整数表示，如果不能恰好分完，就用余数表示。以后我们还会学到：不能恰好分完的情况，还能用另外的数表示。”既引导学生感受数学的奇特魅力又未雨绸缪地为学习后续知识做了有力的铺垫。

其实，只要教师对学生的错误有清醒的认识，并能加以科学引导，这种经历何尝不是帮助他们积累数学经验和发展数学思考的一种途径呢？

【责任编辑：陈国庆】

在学习活动中，有一种有趣的现象：学了后续的知识，却对先前学习的知识识记造成了干扰，心理学中叫做“后摄抑制”。笔者在教学《商不变性质》后的练习中，就遇上了这种典型的心理现象。

课堂回放：

教师出示练习：

860÷40=（）……（）

我在学生中间巡视的时候，惊奇地发现很多学生是如下列算式的：

稍后我与他们校对结果，竟然有一半是这样做的。

师：现在出现了两种结果：21……20和21……2，哪一种是正确的？如何验证？

生：我们可以用除数乘商，然后加上余数，看看结果是不是860。

师：行，请同学们把自己的结果验算一下。

生1：验算后21……20是正确的。

生2：按这样的验算方法，我的结果（21……2）好像不对。但是我又对我的竖式也进行了重新验算，21……2也是正确的啊！（他重新审视了自己的竖式）我错在哪里了呢？

该生一脸的茫然。

师：说说你计算这道题的过程。

生2：因为860÷40这个算式中，被除数与除数都是整百、整十数，所以我就分别去掉一个零后计算。

师：（适时介入）你这样做的理由能说一下吗？

生2：我是运用商不变性质，就是被除数和除数同时缩小10倍，商不变。

师：请继续说你的计算过程。

生2：这样就变成了86÷4=21……2。我算了好几遍都是这样的结果。

师：我把你的思考过程写下来，大家一起来交流，问题在哪里？

板书：860÷40=86÷4=21 ……2

观察并讨论：我错在哪里了？

生：（纷纷）第一步到第二步是对的，第二步到第三步也是对的，为什么结果却是错的呢？真奇怪。（急切地）老师快告诉我们，到底错在哪里了？

师：这里运用了商不变性质，它告诉我们商不变，有没有说余数也不变？

生：没有。

师：我们学习的除法算式中，余数和谁的关系密切？

生：和除数有关，余数不能比除数大。

师：对，看看从第一步到第二步，虽然是相等的，但是除数却？

生：缩小了10倍。

师：是的，对比一下正确的结果和这个算式，大胆猜一下，余数会怎么变？

生（思考后）试探着说：也缩小10倍吗？

师：30÷20与3÷2，对比一下商与余数。

生3：商相同，余数缩小十倍。

生4：哦，我有点明白了，运用商不变性质计算有余数的除法，不变的只是商，余数是有变化的。

生5：而且余数的变化倍数是和除数、被除数的变化倍数相同的。

师：同学们说的都很好，其实以后我们就会知道，这个算式并没有“错”。

（略微停顿，学生都感到很好奇，明明不对，还说没有“错”？）

师：我们现在学到：两个数相除，正好能平均分，得到结果用整数表示，如果不能恰好分完，就用余数表示。以后我们还会学到：不能恰好分完的情况，还能用另外的数表示。

生（个别学生）：我知道，可以用小数和分数。

师：对，这两个结果其实可以用同一个数来表示，我们以后会再学习。

生：哈，这个可真有趣，好神奇。

……

860÷40=()……( )，如果在学习“商不变性质”前让学生做，他们会进行正常的计算多半不会出现疑惑。而在学习了“商不变性质”之后，却产生了有趣而典型的“后摄抑制”现象，形成了学习干扰。这种现象是一种邂逅还是不可避免？如何顺势引导让学生解开心中之惑？这可以给我们的教学以怎样的启示？笔者经历了课堂实践后有了更深的感受。

一、 “错”可以避免吗？不妨顺水推舟

心理学研究表明，后摄抑制作为一种思维活动现象，它是学生对所学知识的一种思维迁移，不可避免。学习材料相似性越大，就越容易发生。所以，当学生熟练掌握了商不变性质并运用在计算过程中时，“因为860÷40这个算式中，被除数与除数都是整十数，所以我就各去掉一个零后计算”，错得顺理成章。而且他们对商不变性质的理解程度越高，出错的概率也就越大，这是由于相似学习材料中，如果后学习材料的掌握程度越牢固，对先前知识的干扰就越强。如果明白这一点，教师就能理解学生错误产生的原因，而且笔者认为教师需要“有意识”地引导学生经历由这种负迁移而产生的错误。《学记》云“君子知至学之难易而知其美恶，然后能博喻”。高明的教师应该洞察学生的认知规律，善于制造思维矛盾，挑起学生的自我认知分歧，然后站在一旁欣赏学生在辨析思考中慢慢迈上前行的路途。这样的教学更加有利于学生分辨学习材料的异同，这种错误更加有助于学生进行自我反思，有助于学生更好地理解与掌握知识，从而培养其思维的深刻性。

二、 “讲”还是“不讲”？理应拨云见日

学生理解等式具有传递性，即若A=B,B=C,则A=C。而在此让他们思考860÷40=86÷4，86÷4=21 ……2，但是860÷40≠21 ……2，这是为什么？学生能想通吗？这种情形下教师“讲”还是“不讲”？若不讲，学生始终会在“茫然之中”问“我错在哪里了？”以后还会再次陷入错误。所以笔者以为理应让学生对“错在哪里”有所感悟。那么如何让学生以可以理解和接受的方式来进行教学引导呢？经验学的观点告诉我们，学生的思考多是按自己的直观经验逻辑，不是按大自然的科学逻辑。按他们的逻辑与经验基础，引导他们到科学的大道上来，是我们教师的任务。鉴于此，在教学中，笔者从“商不变性质，它告诉我们商不变，有没有说余数也不变？”入手，引导学生观察“被除数与除数变化的同时，余数如何变化”，引导学生猜想，验证自己的想象与得出结论，从而明白“运用商不变性质计算有余数的除法，不变的只是商，余数是有变化的”，“而且余数的变化倍数是和除数、被除数的变化倍数相同的”这样的数学事实，虽然是浅尝即止，但是却让学生对“有余数的除法不能轻易用商不变性质来运算”有了深刻的领悟和感受。

三、 如何把握“深度”？可以未雨绸缪

当然，出现这种错误除了“后摄抑制”的影响，还有学生知识认知层次的局限性。两个数相除当出现结果不是整数的时候，在四年级阶段只能以“商……余数”的形式表示，这是结果表达的一种特殊形式。只有当学生学习了“除法与分数”的关系以及“约分”的知识后，学生才会明白：任何除法计算都可以用分数表示两个数相除的结果，而这个结果虽然表达的形式会有所不同，但是其实质是相同的。如把860÷40的结果表示成，86÷4的结果表示成，形异而质同。但这个道理若让四年级学生有深刻的理解，显然力所不逮。所以笔者选择“其实以后我们就会知道，这个算式并没有‘错”。从而激起学生的好奇心与兴趣，而后指明“我们现在学到：两个数相除，正好能平均分，得到结果用整数表示，如果不能恰好分完，就用余数表示。以后我们还会学到：不能恰好分完的情况，还能用另外的数表示。”既引导学生感受数学的奇特魅力又未雨绸缪地为学习后续知识做了有力的铺垫。

其实，只要教师对学生的错误有清醒的认识，并能加以科学引导，这种经历何尝不是帮助他们积累数学经验和发展数学思考的一种途径呢？

【责任编辑：陈国庆】

在学习活动中，有一种有趣的现象：学了后续的知识，却对先前学习的知识识记造成了干扰，心理学中叫做“后摄抑制”。笔者在教学《商不变性质》后的练习中，就遇上了这种典型的心理现象。

课堂回放：

教师出示练习：

860÷40=（）……（）

我在学生中间巡视的时候，惊奇地发现很多学生是如下列算式的：

稍后我与他们校对结果，竟然有一半是这样做的。

师：现在出现了两种结果：21……20和21……2，哪一种是正确的？如何验证？

生：我们可以用除数乘商，然后加上余数，看看结果是不是860。

师：行，请同学们把自己的结果验算一下。

生1：验算后21……20是正确的。

生2：按这样的验算方法，我的结果（21……2）好像不对。但是我又对我的竖式也进行了重新验算，21……2也是正确的啊！（他重新审视了自己的竖式）我错在哪里了呢？

该生一脸的茫然。

师：说说你计算这道题的过程。

生2：因为860÷40这个算式中，被除数与除数都是整百、整十数，所以我就分别去掉一个零后计算。

师：（适时介入）你这样做的理由能说一下吗？

生2：我是运用商不变性质，就是被除数和除数同时缩小10倍，商不变。

师：请继续说你的计算过程。

生2：这样就变成了86÷4=21……2。我算了好几遍都是这样的结果。

师：我把你的思考过程写下来，大家一起来交流，问题在哪里？

板书：860÷40=86÷4=21 ……2

观察并讨论：我错在哪里了？

生：（纷纷）第一步到第二步是对的，第二步到第三步也是对的，为什么结果却是错的呢？真奇怪。（急切地）老师快告诉我们，到底错在哪里了？

师：这里运用了商不变性质，它告诉我们商不变，有没有说余数也不变？

生：没有。

师：我们学习的除法算式中，余数和谁的关系密切？

生：和除数有关，余数不能比除数大。

师：对，看看从第一步到第二步，虽然是相等的，但是除数却？

生：缩小了10倍。

师：是的，对比一下正确的结果和这个算式，大胆猜一下，余数会怎么变？

生（思考后）试探着说：也缩小10倍吗？

师：30÷20与3÷2，对比一下商与余数。

生3：商相同，余数缩小十倍。

生4：哦，我有点明白了，运用商不变性质计算有余数的除法，不变的只是商，余数是有变化的。

生5：而且余数的变化倍数是和除数、被除数的变化倍数相同的。

师：同学们说的都很好，其实以后我们就会知道，这个算式并没有“错”。

（略微停顿，学生都感到很好奇，明明不对，还说没有“错”？）

师：我们现在学到：两个数相除，正好能平均分，得到结果用整数表示，如果不能恰好分完，就用余数表示。以后我们还会学到：不能恰好分完的情况，还能用另外的数表示。

生（个别学生）：我知道，可以用小数和分数。

师：对，这两个结果其实可以用同一个数来表示，我们以后会再学习。

生：哈，这个可真有趣，好神奇。

……

860÷40=()……( )，如果在学习“商不变性质”前让学生做，他们会进行正常的计算多半不会出现疑惑。而在学习了“商不变性质”之后，却产生了有趣而典型的“后摄抑制”现象，形成了学习干扰。这种现象是一种邂逅还是不可避免？如何顺势引导让学生解开心中之惑？这可以给我们的教学以怎样的启示？笔者经历了课堂实践后有了更深的感受。

一、 “错”可以避免吗？不妨顺水推舟

心理学研究表明，后摄抑制作为一种思维活动现象，它是学生对所学知识的一种思维迁移，不可避免。学习材料相似性越大，就越容易发生。所以，当学生熟练掌握了商不变性质并运用在计算过程中时，“因为860÷40这个算式中，被除数与除数都是整十数，所以我就各去掉一个零后计算”，错得顺理成章。而且他们对商不变性质的理解程度越高，出错的概率也就越大，这是由于相似学习材料中，如果后学习材料的掌握程度越牢固，对先前知识的干扰就越强。如果明白这一点，教师就能理解学生错误产生的原因，而且笔者认为教师需要“有意识”地引导学生经历由这种负迁移而产生的错误。《学记》云“君子知至学之难易而知其美恶，然后能博喻”。高明的教师应该洞察学生的认知规律，善于制造思维矛盾，挑起学生的自我认知分歧，然后站在一旁欣赏学生在辨析思考中慢慢迈上前行的路途。这样的教学更加有利于学生分辨学习材料的异同，这种错误更加有助于学生进行自我反思，有助于学生更好地理解与掌握知识，从而培养其思维的深刻性。

二、 “讲”还是“不讲”？理应拨云见日

学生理解等式具有传递性，即若A=B,B=C,则A=C。而在此让他们思考860÷40=86÷4，86÷4=21 ……2，但是860÷40≠21 ……2，这是为什么？学生能想通吗？这种情形下教师“讲”还是“不讲”？若不讲，学生始终会在“茫然之中”问“我错在哪里了？”以后还会再次陷入错误。所以笔者以为理应让学生对“错在哪里”有所感悟。那么如何让学生以可以理解和接受的方式来进行教学引导呢？经验学的观点告诉我们，学生的思考多是按自己的直观经验逻辑，不是按大自然的科学逻辑。按他们的逻辑与经验基础，引导他们到科学的大道上来，是我们教师的任务。鉴于此，在教学中，笔者从“商不变性质，它告诉我们商不变，有没有说余数也不变？”入手，引导学生观察“被除数与除数变化的同时，余数如何变化”，引导学生猜想，验证自己的想象与得出结论，从而明白“运用商不变性质计算有余数的除法，不变的只是商，余数是有变化的”，“而且余数的变化倍数是和除数、被除数的变化倍数相同的”这样的数学事实，虽然是浅尝即止，但是却让学生对“有余数的除法不能轻易用商不变性质来运算”有了深刻的领悟和感受。

三、 如何把握“深度”？可以未雨绸缪

当然，出现这种错误除了“后摄抑制”的影响，还有学生知识认知层次的局限性。两个数相除当出现结果不是整数的时候，在四年级阶段只能以“商……余数”的形式表示，这是结果表达的一种特殊形式。只有当学生学习了“除法与分数”的关系以及“约分”的知识后，学生才会明白：任何除法计算都可以用分数表示两个数相除的结果，而这个结果虽然表达的形式会有所不同，但是其实质是相同的。如把860÷40的结果表示成，86÷4的结果表示成，形异而质同。但这个道理若让四年级学生有深刻的理解，显然力所不逮。所以笔者选择“其实以后我们就会知道，这个算式并没有‘错”。从而激起学生的好奇心与兴趣，而后指明“我们现在学到：两个数相除，正好能平均分，得到结果用整数表示，如果不能恰好分完，就用余数表示。以后我们还会学到：不能恰好分完的情况，还能用另外的数表示。”既引导学生感受数学的奇特魅力又未雨绸缪地为学习后续知识做了有力的铺垫。

其实，只要教师对学生的错误有清醒的认识，并能加以科学引导，这种经历何尝不是帮助他们积累数学经验和发展数学思考的一种途径呢？

【责任编辑：陈国庆】