带框架肋骨的环肋圆柱壳的总体弹性屈曲

左成魁

（中海工业（江苏）有限公司，江苏 扬州225211）

0 引 言

虽然大圆柱壳的长舱段、大分舱结构已经成为当今水下钢结构的发展趋势，并已在某些发达国家得到了实际的应用。但带框架肋骨长舱段总体失稳的计算，还没有给出准确、有效的计算方法。略述了其中的一些探索工作，并提出了带框架肋骨的环肋圆柱壳运用能量表达式，通过Ritz法求出其弹性屈曲压力。

1 屈曲形式

解决框架肋骨在大圆柱壳上的应用问题，其核心是解决带框架肋骨的环肋圆柱壳的总体屈曲问题。带框架肋骨的环肋圆柱壳在均匀外压下可能以几种方式弹性屈曲，现将其列为3种可能的组合破坏模式，分别见图1（a）、图1（b）和图1（c）。

图1 带框架肋骨的环肋圆柱壳的几种破坏形式

2 带框架肋骨的环肋圆柱壳弹性屈曲公式的推导

理论上求解带环肋骨的圆柱壳弹性屈曲问题的关键技术有：

（1）完整准确地表达各构件的能量表达式，各种受力因素尽量涵盖；

（2）尽量准确地描述附加位移的形状函数，努力逼近真实形状。

然而，由于数学运算的复杂性和对实际形状描述的艰难性，做到这两点很困难。英国专家Kendrick博士曾对带中间强肋骨的环肋圆柱壳屈曲进行理论分析［1，2］。运用Kendrick使用过的关于主肋骨屈曲的分析［2，3］，自行创建附加位移形状函数，设定一组屈曲位移，从最小势能条件导出屈曲方程，进行比较分析。

当圆柱壳屈曲时，附加位移u、v、w的发生时间晚于屈曲前呈现的位移。在这些附加位移发生期间，外力做的功和应变能被贮存在壳体和肋骨中。总势能可以用附加位移u、v、w及其导数的诸项表达，并取其平衡状态的极小值。这个条件提供了确定位移和破坏压力的方法。位移u、v、w的某种形状的假设要涵盖任意常数并能计算总势能；在此条件下对任意系数极小化，于是便可推导出关于任意系数的线性齐次方程。为了得到非平凡解，必须令其系数行列式为0，这个条件便产生了屈曲破坏发生时的一组方程。

在圆柱壳的研究中，采用圆柱坐标系（见图2）。

图2 带框架肋骨的环肋圆柱壳的几何形状、位移和坐标系

2.1 能量表达式

Kendrick曾给过一般环肋圆柱壳的主肋骨和壳板能量表达式［2］，但没有见到有关框架肋骨的拉伸和弯曲应变能表达式的文献。针对这一问题，提出如下能量参数。

1）壳板的应变能：壳板的拉伸应变能为Ue；壳板的弯曲应变能为Ub。

2）主肋骨的应变能：主肋骨的拉伸应变能为Vei；主肋骨的弯曲应变能为Vbi。

3）框架肋骨的应变能：框架肋骨的拉伸应变能为Vej；框架肋骨的弯曲应变能为Vbj。

4）由外力产生的势能：由径向压力P产生的势能为W；由轴向压力P产生的势能为Wr。

2.2 屈曲形状函数的假设

当圆柱壳丧失总体稳定性时，其两端可认为是自由支持在刚性支座周界上的。David Tailor在水池进行系列模型试验［4］研究5种端部条件对屈曲压力的影响，并从Sout h well弹性应变曲线非破坏性地获得屈曲压力。因此，位移υ和w在两端应该等于0。壳板失稳后的变形是连续的，位移的3个分量都应该是坐标θ的周期函数。

取坐标原点在左端舱壁处。为使所求的圆柱壳位移能满足上述要求，假设带框架肋骨的环肋圆柱壳屈曲的附加位移形状函数为

式（1）中：C1，……，C7为任意常数。以C1，C2，C3给出的屈曲形状的项主要表示端壁间径向和周向变形的一个光顺的半正弦波。这意味着壳板作为充分有效的翼缘以周向弯曲的形式作用于肋骨。含C4，C5的项考虑了主肋骨间的壳板变形，且这个变形并没有充分有效地呈现出来；含C6，C7的项计及框架肋骨间的壳板和主肋骨的变形，并且这些变形也不是完全充分有效的，即框架肋骨具有一定的刚度。

在屈曲位移表达式中考虑因素过多会导致屈曲压力较低。因此，由式（1）可知，系统在主肋骨、框架肋骨和舱壁之间用具有独立变形的7个自由度C1，……，C7的解必然比仅用C1，C2，C3的解更准确。但是，要首先保证能量表达式是正确和完全的。当然，选择简单屈曲形式给出足够准确的答案是用能量法求解屈曲问题的技巧的一部分，而寻找准确的形状一般是很困难的。

2.3 弹性屈曲压力的求解

屈曲附连产生的附加位移u、v、w引起的系统总势能可写为

屈曲圆柱壳的总势能必须取一个平衡状态的极小值，通过这个条件导出齐次线性方程组

将总势能表达式代入式（3），导出矩阵方程

把屈曲形状函数代入壳板、主肋骨和框架肋骨及势能的能量表达式，然后积分化简，可得到具体的矩阵［a］，［b］各个元素的表达式及数值。

式（4）是φ1的7次方程，仅仅取φ1的最小值是有意义的。现在寻找φ1的最小值：

通过转化，可令［u］＝［a］－1［b］

这样式（4）可转化为

式（5）中：［I］为单位矩阵。求解［u］矩阵的模数最大的特征值Ψmax，式（5）中最大的根将给出其倒数φ1的最小值。因为［a］，［b］的各个元素都有，可以很容易地求出［u］，从而可求出要求得的弹性屈曲压力

3 计算结果对比分析

3.1 框架肋骨破坏前比较

通过同时列出分舱和整舱失稳屈曲压力可知，模型破坏时发生的是分舱失稳还是整舱失稳取决于框架肋骨的刚度。在大框架肋骨工况下，利用所给出的方法计算得出的圆柱壳整舱失稳压力要大于分舱失稳压力，即此时圆柱壳发生的是分舱失稳，分段失稳压力值与试验值更为接近。

在大框架肋骨工况中，Kendrick给出的失衡压力值与整舱失稳值比较接近，而这两种情况的解并不是实际破坏压力，而是框架肋骨所能承受的最大压力。分舱值曲线与Southwell试验值曲线的拟合度是最好的，两种方法的值最为接近。

3.2 框架肋骨破坏后比较

1）在小框架肋骨工况下，分舱失稳值大于整舱失稳值，发生的是整舱失稳，试验值也更接近整舱失稳压力。

2）在大框架肋骨工况下，中间框架肋骨起到了舱壁的作用，但随着其尺寸进一步减小，即弯曲刚度严重损失，临界压力会产生较大的非线性衰减，呈现出总体失稳的趋势。

3）对于中间框架肋骨的极限工况，即框架肋骨的尺寸跟普通主肋骨的尺寸一样时，其变成了一个大的长舱段，因此不存在分舱失稳与整舱失稳的区别，此时只有失稳压力。

这就解释了两个压力为什么会在框架肋骨的尺寸跟普通主肋骨的尺寸一样时突然变成了相同的结果。通过对比可以发现，Kendrick所给出的是整舱的失稳压力值。

3.3 结果

通过把框架肋骨的尺寸一步步地减小，给出了框架肋骨从能起到舱壁的支撑作用到不能起作用的全过程。在整个过程中，利用所提出的方法计算的结果与试验值比较接近，与其它几种方法结果的对比也较满意，说明所提出的计算方法相对可靠。

4 结 语

围绕带框架肋骨环肋圆柱壳的总体屈曲问题，开展了理论研究。

1）提出了带有7个系数的能够用来计算带框架肋骨的环肋圆柱壳的弹性屈曲形状函数。通过实例验证可以说明，所提出的屈曲形状函数能充分考虑到框架肋骨在环肋圆柱壳破坏时所起到的关键支撑作用。

2）根据借鉴前人提出的主肋骨的能量表达式，提出了框架肋骨的拉伸应变能和弯曲应变能概念。在对实体模型进行计算时发现，运用所提出的能量表达式能够得到较理想的结果。

3）在给出的屈曲形状函数和能量表达式的基础上，推导出带框架肋骨环肋圆柱壳弹性屈曲失稳的压力计算公式，并最终给出了求解带框架肋骨环肋圆柱壳弹性屈曲的方法。

［1］ Kendrick，S.The Buckling under Exter nal Pressure of Circular cylindrical shells with equally spaced circular Ring Frances－Part IV［R］.Naval Construction Research Establishment Report，1957.

［2］ Ross，C.T.F.Pressure Vessels under Exter nal Pressure：Static and Dynamic［M］.London and New Yor k：Elsevier Applied Science Publishers，1990.

［3］ Kaminsky，E.L.General Instability of Ring－Stiffened Cylinders with Clamped Ends under Exter nal Pressure by Kendrick’s Method［R］.D.T.M.B.，1954.

［4］ 丁海旭.轴压和径压下的环肋圆柱壳总体弹性屈曲的新方法［R］.中国船舶科学研究中心科技报告，2005.