小学生数学问题解决的思维策略

吴凤仪

【摘 要】思维策略指的是一般性的较普遍的思维方法，是在一定数学思想方法的指导下，所采取的总体思路。中小学教师只有理解数学的各种思维方法，才能引导学生有意识地应用数学的思维方法去分析和解决问题，形成数学能力，提高数学素质。

【关键词】小学数学；教学；问题解决

所谓思维策略，指的是一般性的较普遍的思维方法，是在一定数学思想方法的指导下，所采取的总体思路。美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去套，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。问题解决的教学为我们向学生渗透数学思想、训练思维方法提供了机会。中小学教师只有理解数学的各种思维方法，才能引导学生有意识地应用数学的思维方法去分析和解决问题，形成数学能力，提高数学素质。

一、观察与实验

对周围世界的各个客观事物和现象，在其自然条件下，按照客观事物本身的实际情况，研究和确定它们的性质和关系的方法，称为观察。观察是一种有目的、有计划、有组织的知觉。其次，观察不仅是一种单纯的知觉过程，它还包含着积极的思维过程。例如，我们在进行观察的过程中，必须随时比较所观察的事物，以及了解它们的性质和关系。比较事物就是思维活动的一种显著的表现。正因为知觉和思维的密切联系，所以观察有时也被称为“思维的知觉”。在解决问题的过程，一定要精细地观察，这是发现规律、获得解题方法的第一步。

例1 ：下图是个数字“金字塔”，这个数字“金字塔”中，所有数字之和是多少？

1

121

12321

1234321

123454321

12345654321

1234567654321

123456787654321

12345678987654321

学生看到此题，首先要观察，观察的具体方法很多，可以看横行，也可以看斜行，还可以确定观察某个数字的个数。

实验（试验）通常是指一种研究客观事物和现象的方法，即根据这些事物和现象的自然状态和发展，人为地创设条件，人为地将它们分成许多部分，而且将他们同其他事物和现象联系起来以深入了解所研究的事物和现象的自然状态和发展情况。任何实验都和观察相联系着，实验者必须观察实验的进程和结果。在数学研究中，通过观察与实验不仅可以收集所需要的信息、获得必要的知识，而且观察与实验往往还会产生新的发现。如要确定一个图形是不是轴对称图形，只需将其对折一下，看折痕两边是否完全重合即可。想知道在一个正方体上切一刀，截面是什么形状？拿几块橡皮泥切一切就知道了。数学问题的解决，往往需要观察后，作出初步的判断、猜测，必要时还需要测一测、量一量，比一比，才能最后确认猜测的正确性。

二、分析与综合

分析与综合是思维的基本过程，分析是指在头脑中把事物整体分解为各个部分、各个方面或不同特征的过程；综合是指在头脑中把事物的各个部分、各个方面、不同特征结合为整体的过程。如：把7分解成1和6，2和5，3和4，这是一个分析的过程，而把1和6，2和5，3和4组合成7则是一个综合过程。分析与综合是思维过程的两个方面，两者相互联系，相互制约。如学生计算9+3时，先想把3分解成1和2，再想9和1凑成10，10再加2等于12。把3分解成1和2，是一个分析的过程，而分解的过程是为下一个9和1凑成10的组合过程作准备。分析法和综合法是两种重要的思维方法，分析法是以果导因，而综合法是由因导果，两者是解决因果关系问题中相互联系的思维方法。

例如：图中阴影部分的面积是50 平方厘米，求环形的面积。

如果从已知条件出发，采用综合法，我们假设：大圆半径（大正方形的边长为R，）小圆半径（小正方形的连长为r） ，有R×R -r×r =50 ，即大正方形的面积减小正方形的面积差是50 平方厘米。至此，我们还可进一步发现，50也是大圆半径的平方与小圆半径的平方之差。以上的过程就是一个综合的过程。所得出的结论对于解题有什么作用呢？让我们从所求问题再入手，要求环形面积，需要用大圆的面积减小圆的面积，即πR×R-πr×r，将其整理后得π（R×R-r×r），这时再根据R×R-r×r=50，求得环形面积为50π平方厘米。这样，我们可以清楚地了解分析与综合法在解题过程中往往是同时使用的。

三、特殊与一般

在数学研究中，一般化与特殊化是两种非常重要的思维方法。当我们得到一个定理后，希望把它推广，得出可以在更大范围应用的定理，这就是一般化。一般化，也称为普遍化。另一个途径是将定理特殊化，寻求它的推论。关于一般化与特殊化。（l）我们可以通过一般化，发现数学的一般性原理、性质、法则、规律等。（2）通过特殊化，能够使我们很快捷地找到解决问题的有效途径。如：把一个数拆成两个数的和，这两个数的差越小，他们的乘积就越大。这是一个一般性的结论，我们可以举出几个特例试一试。如9可以写成0和9、1和8，2和7，3和6，4和5的和，通过比较得到验证，4和5的差最小，其乘积最大。再如：在平面上画n 条直线，求交点最多有多少个？有这样的公式：n（n一1） / 2。我们可以假定是1 条直线，代入公式后得出0 个交点；2 条直线，把2 代入公式后，得出1 个交点；5 条直线，把5 代入公式后得到10 个交点。以此个别的例子验证了这样的一般性结论，这就是特殊化的思维方法。特殊化的思维方法可以直接导入问题的要害，使问题得以快速解决。

四、类比

类比就是利用事物间的某些相似之处，进行推理，由个别到个别的推理。如由长方形对边相等，推出长方体的对棱也相等，如由商不变的性质推出分数的基本性质和比的性质。类比作为一种重要的思维方法，在使用的过程中，有时会使我们很快地找到正确的答案，有时则容易使人误入歧途。比如，学习了能被2 整除的特征时，观察这个数的个位能否被2 整除，即个位上是不是出现了“0，2，4，6，8”，这种找能被2 整除的方式被应用到能被5 整除的数的特征的探索中是有效的，很快地发现：个位是0 或者5 的数能被5 整除。但是如果以这种方法来找能被3 整除的数的特征，就会有“个位上是0，3，6，9 ”的数能被3 整除这一错误的结论。由此看来，类比有时也可把人导向错误。

五、归纳与演绎

归纳是由个别到一般的推理，凭借归纳可以从特殊事实得到一般原理，小学数学中许多概念、公式、法则都是这样得出来的。即从个别的数学式题或事实进行观察、比较、分析、综合，从中归纳出一般的结论。归纳分为不完全归纳和完全归纳两种。在小学阶段，采用的主要是不完全归纳。例如：50+35=35+50，8+11=11+8，23+10=10+23，由此归纳出a+b=b+a。演绎是由一般到个别的推理，依靠演绎可以把一般原理运用到特殊事实，用来验证一般原理。在小学数学教学中，就是要根据己掌握的定义、法则等解决问题，说明道理。从形式逻辑的角度看，演绎推理的基本形式是三段论：“大前提、小前提、结论”。例：一个数除以1 和它本身外再没有别的约数，这个数就叫做质数。（大前提）89 除了1和89 外再没有别的约数了。（小前提）与分析与综合一样，归纳与演绎也是相互制约、密不可分的。

■参考文献

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