Lucas数的标准分解式中诸素因数的指数

王 晨, 卢青林

(江苏师范大学 数学与统计学院, 江苏 徐州 221116)

Lucas数的标准分解式中诸素因数的指数

王 晨, 卢青林

(江苏师范大学 数学与统计学院, 江苏 徐州 221116)

纠正了L2×3k×p≡0(mod3k+1),k∈Z,k≥0,p为任意正整数的错误,然后证明了Lucas数Ln的标准分解式中素因数5指数为0,最后证明了Ln的标准分解式中素因数7的指数由n的标准分解式中2和7的指数决定.

Lucas数; 标准分解式; 素因数; 指数

0 引言

Fibonacci序列{Fn}n≥0的定义为F0=0,F1=1,Fn+2=Fn+1+Fn(n≥0),它除了本身有很多性质外,在数论、几何、概率、数据处理等学科中都有重要应用,美国数学会主办的期刊《Fibonacci Quarterly》就专门刊登有关Fibonacci序列的研究论文.Fibonacci序列有许多研究方向,其中之一就是研究Fn的标准分解式中素因数的指数．多位学者对此进行了系列的研究,给出Fn的标准分解式中素数2,3,5,7,11,13,17的指数刻画[1-8].

Lucas序列{Ln}n≥0是Fibonacci序列{Fn}n≥0的姊妹序列,其定义为

L0=2,L1=1,Ln+2=Ln+1+Ln(n≥0).

陈小芳[9-10]研究了Lucas数Ln的标准分解式中素因数2、3的指数,本文首先纠正文[10]中的一个错误,然后给出Ln标准分解式中素因数5、7的指数的刻画.

1 预备知识

对于Lucas序列,有下列著名的比内公式

引理1[4]7|Fn⟺8|n.

引理2[11]Ln+m=Fn-1Lm+FnLm+1.

引理3[2]F2m×3kn的标准分解式中3的指数为k+1,其中m,n,k∈Z,且m≥2,k≥0,n≥1.

引理4[4]F8k×7s×p(k>0)的标准分解式中素因数7的指数是s+1.

引理6[10]L2×3k的标准分解式中素因数3的指数是k+1,其中k为非负整数.

引理7 7|Ln⟺n≡4(mod 8).

证由Ln+2=Ln+1+Ln知,Ln关于模7的最小非负剩余rn满足rn+2≡rn+1+rn(mod 7).计算结果见表1.

由表1知,rn关于模7的最小周期为16,即Ln+16≡Ln(mod 7).又有L4≡0(mod7),L12≡0(mod7),故可知7|Ln⟺n≡4(mod 8).

表1 模7的最小非负剩余rn

证作为例子,我们只证明第一个式子,其余的类似可证.有比内公式可得

由引理5有

2 主要结果及证明

陈小芳[10]为了证明其主要定理,给出了以下结论(定理3):L2×3k×p≡0(mod 3k+1),k∈Z,k≥0,p为任意正整数.显然,当p为偶数时,以上结论不成立.我们用分类方法,将文[10]中定理3、定理4和定理5概括为如下的结论.

定理1L2×3k×p的标准分解式中素因数3的指数为k+1,k∈Z,k≥0,且gcd(p,6)=1.

证因为gcd(p,6)=1,故可令p=6m+r,其中m∈Z且m≥0,r=1,5.由引理2和引理3可得

L2×3k×p=L2×3k×(6m+r)=L4×3k+1m+2×3kr=F4×3k+1m-1L2×3kr+F4×3k+1mL2×3kr+1≡F4×3k+1m-1L2×3kr(mod3k+2).

因此,只需要证明若3k+1恰整除L2×3kr．下面对r进行讨论:

1)当r=1时,由引理6知命题成立.

综上所述,定理得证.

定理2 Lucas数Ln的标准分解式中不含因数5.

证通过计算可得Lucas数Ln关于模7的最小非负剩余rn如下:

表2 模7的最小非负剩余rn

故Lucas数Ln关于模7的最小非负剩余rn的最小周期为16,且在第一个周期内Lucas数均不能被5整除,故定理得证.

最后,我们讨论Lucas数Ln的标准分解式中因数7的指数.

定理3L4×7k的标准分解式中素因数7的指数为k+1,k∈Z且k≥0.

证对k作数学归纳法.当k=0时,L4=7,故L4中7的指数为1,命题成立.假设命题对于非负整数k成立,即L4×7k=7k+1q,其中gcd(q,7)=1,则对于k+1,由引理8的2)有

因为(q,7)=1,故L4×7k+1中的指数为k+2.证毕.

定理4L4×7k×p的标准分解式中素因数7的指数为k+1,其中k∈Z,k≥0,且gcd(p,14)=1.

证令p=14m+r,其中m∈Z且m≥0,r=1,3,5,9,11,13.则

L4×7k×p=L4×7k×(14m+r)=L8×7k+1m+4×7kr.

由引理2及引理4知

L8×7k+1m+4×7kr=F8×7k+1mL4×7kr+1+F8×7k+1m-1L4×7kr≡F8×7k+1m-1L4×7kr(mod7k+2).

因为(7,F8×7k+1m-1)=1,故只需要证明7k+1恰整除L4×7kr.下面对r进行讨论:

1)当r=1时,由定理3,命题成立.

2)当r=3, 11时,由引理8知

综上所述,定理4得证.

将上面的结论总结如下:

定理5 设n=2s×7k×p,其中s,k∈Z,s,k≥0, 且 (p, 14)=1,则Ln的标准分解式中7的指数t为

证当s=0时,n=7kp≡±1, ±3(mod 8); 当s=1时,n=2×7kp≡±2(mod 8);当s≥3时,n=2s×7k×p≡0(mod 8), 由引理7知,Ln的标准分解式中7的指数为0.当s=2时,由定理4知,Ln的标准分解式中7的指数为k+1.

[1]袁明豪. 正Fibonacci数的标准分解式中因子2的指数[J]. 数学通讯,2003(15):26-27.

[2]袁明豪. 正Fibonacci数的标准分解式中因子3的指数[J]. 荆州师范学院学报,2003(2):12-13.

[3]袁明豪. 正Fibonacci数的标准分解式中因子5的指数[J]. 数学实践与认识,2003,37(7):166-170.

[4]王念良,张洁. Fibonacci数的标准分解式中素因子7的指数[J]. 商洛学院学报,2007,21(4):4-7.

[5]林丽蓉,尤利华. Fibonacci数的标准分解式中素因数11的指数[J]. 甘肃联合大学学报,2008,22(6):4-10.

[6]尤利华,黄荣辉．Fibonacci数的标准分解式中诸素因数的指数[J].广西师范大学学报:自然科学版,2011,29(3):18-22.

[7]黄荣辉,尤利华. Fibonacci数的标准分解式中素因数13的指数[J]. 江西师范大学学报,2012,36(3):234-237.

[8]林伟芬,尤利华. Fibonacci数的标准分解式中素因数17的指数[J]. 淮阴师范学院学报:自然科学版,2013(3):213-217.

[9]陈小芳. Lucas数列中素因子2的指数[J].首都师范大学学报,2013,34(5):6-7.

[10]陈小芳. Lucas数的标准分解式中素因子3的指数[J].贵州师范大学学报,2013,31(4):45-47.

[11]卢世芳. Fibonacci数和Lucas数的几个性质[J].青海大学学报:自然科学版,1999,17(6):68-70.

[责任编辑：李春红]

TheIndexesofsomePrimeFactorsintheStandardFactorizationofLucasNumbers

WANG Chen, LU Qing-lin

(School of Mathematics and Statistics, Jiangsu Normal University, Xuzhou Jisngsu 221116, China)

In this paper, we first correct a mistake in reference [10]; then we prove that the index of 5 inLnis 0; at last, we prove that index of 7 inLncan be determined by the indexes of 2 and 7 in the standard factorization ofn.

lucas number; standard factorization; prime factor; index

2015-01-02

国家自然科学基金资助项目(11171288,11171150); 江苏省大学生实践创新训练计划项目(20140320094X)

卢青林(1963-),男,江苏盱眙人,教授,博士,研究方向为组合数学. E-mail: qllu@jsnu.edu.com

O157.1

: A

: 1671-6876(2015)02-0104-03