关于双参数广义三角函数与双曲函数的不等式

尹枥，黄利国

（滨州学院数学系，山东滨州256603）

关于双参数广义三角函数与双曲函数的不等式

尹枥，黄利国

（滨州学院数学系，山东滨州256603）

利用经典的Bernoulli不等式，通过初等解析方法与不等式理论建立了带双参数广义三角函数与双曲函数的Grünbaum型不等式；另外，还得到了推广超几何级数3F2的两个双边不等式.

不等式；广义三角函数与双曲函数；推广超几何级数

1　引言

带参数的广义三角函数与双曲函数的研究是最近发展起来的一个新课题.文献［1］引入了广义三角函数（如：sinp）的定义.当p=2时，这些函数包含了通常的三角函数.2010年，文献［2］发展了一套计算sinp的数值方法.最近，文献［3］介绍了（p，q）-三角函数的定义，并研究相关的性质和不等式.目前，国内外越来越多的科研工作者展开了对此领域的研究［3-8］.

定义高斯超几何函数如下：

其中a，b，c为复数，c≠0，-1，-2，···，（a，0）=1（a≠0），（a，n）=a（a+1）···（a+n-1）.容易知道，一些常见的函数和（p，q）-三角函数都是高斯超几何函数的特殊情况，具体表示见文献［10］.

定义带双参数广义反正弦与反双曲函数arcsinpqx与arcsinhpqx如下：

其中p＞1，q＞1，x∈（0，1）.之后，通过定义其反函数并连续延拓到R，可以定义（p，q）-三角函数如sinpqx，cospqx，sinhpqx，coshpqx等，详见文献［4］.

推广的超几何级数3F2定义如下：

易知此级数当|z|＜1时收敛.

2　主要结果

引理2.1［7］设f：（a，+∞）→R，（a＞0）.函数上的单调递增函数，令h（x）=f（x2），则Grünbaum不等式

成立.其中x，y≥a且z2=x2+y2.若g为（a，+∞）上的单调递减函数，则

引理2.2［4］当p＞1，q＞1时，对任意x∈（0，1），有

定理2.1当p＞1，q＞1时，对任意x，y，z∈（0，1），只要满足z2=x2+y2，则有Grünbaum型不等式

成立.

定理2.2当p＞1，q≥2时，对任意x，y，z∈（0，1）且满足z2=x2+y2时，有

下面推导两种不同类型的推广超几何函数3F2（或clausen函数）的上、下界.其主要思想是通过考虑和差形式arcsinpqx±arcsinhpqx，利用推广三角函数的上、下界来进行估计.

定理2.3当p＞1，q＞1时，对任意x∈（0，1），有

定理2.4当p＞1，q＞1时，对任意x∈（0，1），有

注2.2推广超几何函数3F2的研究已有一些成果，如文献［10-12］，但是估计上下界的成果并不多.值得注意的是Karp得到了推广超几何函数q+1Fq的一些估计［13］.

在文献［7］中，Baricz等利用单参数广义三角函数与双曲函数的估计给出了一种特殊形式下3F2的上下界，本文结果推广了上述情况.

3　一些新的研究问题

（1）对于三角函数，有简单的倍角公式sin（2x）=2sinxcosx，自然希望把此公式推广到带参数的广义三角函数中去.目前唯一的结果是Edmunds-Gurka-Lang等式，这个公式巧妙的利用了Jacobi椭圆函数的性质处理了这种特殊情况.即

一般情况下还没有解决.

（2）广义三角函数与双曲函数的Turán型不等式，这个课题已有一些结果，但仍有很多猜想没有解决，读者可参看文献［7，13］.

（3）广义三角函数与双曲函数的各类平均不等式.目前，对于幂平均（Power mean）、对数平均（Logarithmic mean）和恒等平均（Identic mean）等已有研究（可见文献［6，14-15］）.

［1］Linqvist P.Some remarkable sine and cosine functions［J］.Ricerche di Matematica，1995，44：269-290.

［2］Biezuner R J，Ercole G，Martins E M.Computing the sinpfunction via the inverse power method［J］.Comput.Methods Appl.Math.，2012，（2）：129-140.

［3］Takeuchi S.Generalized Jacobian elliptic functions and their application to bifurcation problems associated with p-Laplacian［J］.J.Math.Anal.Appl.，2012，385：24-35.

［4］Bhayo B A，Vuorinen M.On generalized trigonometric functions with two parameters［J］.J.Approx.Theory，2012，164（10）：1415-1426.

［5］Jiang W D，Wang M K，Chu Y M，et al.Convexity of the generalized sine function and the generalized hyperbolic sine function［J］.J.Approx.Theory，2013，174：1-9.

［6］BariczÁ，Bhayo B A，Klén R.Convexity properties of generalized trigonometric and hyperbolic functions［J］.Aequat.Math.，2015，89（3）：473-484.

［7］BariczÁ，Bhayo B A，Pogány T K.Functional inequalities for generalized inverse trigonometric and hyperbolic functions［J］.J.Math.Anal.Appl.，2014，417：244-259.

［8］Edmunds D E，Gurka P，Lang J.Properties of generalized trigonometric functions［J］.J.Approx.Theory，2012，164：47-56.

［9］王竹溪，郭敦仁.特殊函数概论［M］.北京：北京大学出版社，2000.

［10］Maier R S.P-symbol，Heun identities，and3F2identities［J］.Contemp.Math.，2008，471：139-159.

［11］Lavoie J L，Grondin F，Rathie A K.Generalizations of wastons theorems on the sum of a3F2［J］.Indian J.Math.，1992，32（1）：23-32.

［12］Lavoie J L，Grondin F，Rathie A K.Generalizations of whipples theorems on the sum of a3F2［J］.Math.Comp.，1994，205（62）：267-276.

［13］Karp D.Representations and inequalities for generalized hypergeometric functions［J］.J.Math.Anal.Appl.，2014，421（1）：370-382.

［14］Bhayo B A，Vuorinen M.Power mean inequality of generalized trigonometric functions［J］.Matematicki Vesnik，2015，67（1）：17-25.

［15］Bhayo B A，Yin L.Logarithmic mean inequality for generalized trigonometric and hyperbolic functions［J］.Acta.Univ.Sapientiae Math.，2014，6（2）：135-145.

Some inequalities for the generalized trigonometric and hyperbolic functions with two parameters

Yin Li，Huang Liguo

（Department of Mathematics，Binzhou University，Binzhou256603，China）

In this paper，we present some Grünbaum type inequalities for the generalized trigonometric and hyperbolic functions with two parameters by applying classical Bernoulli inequality.Meanwhile，we obtain two bilateral inequalities for the generalized hypergeometric function3F2.

inequality，generalized trigonometric and hyperbolic functions，generalized hypergeometric function

O178

A

1008-5513（2015）05-0474-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.05.006

2014-11-09.

国家自然科学基金（11401041）；滨州学院科研基金（BZXYL1303，2013Y02）.

尹枥（1979-），硕士，讲师，研究方向：特殊函数的不等式及其应用.

2010 MSC:33B10