积分因子法在数学分析中的应用

马宗立，岳素芳

（安庆师范大学数学与计算科学学院，安徽安庆246133）

积分因子法在数学分析中的应用

马宗立，岳素芳

（安庆师范大学数学与计算科学学院，安徽安庆246133）

在方程两边同乘某一个积分因子来求解微分方程，往往可以起到事半功倍的效果，而这种思想对一些证明问题同样有效。结合一些具体的例子，本文讨论了积分因子法在数学分析中的一些应用。

积分因子；洛必达法则；热方程；Gronwall不等式

1 积分因子法在极限理论中的应用

分析：此例考查的是f(x)的极限与f(x)+f′(x)极限的关系，而f（x）+f′（x）可利用积分因子将其视为某一个函数的导数，所以问题就是某一函数极限及其导数极限的关系，可以利用洛必达法则，也可以利用牛顿-莱布尼茨公式来证明。

证明（1）应用推广的罗比达法则证明。

注1上述证明虽然简单明了，但是要求大家对推广的洛必达法则要熟练，而关于推广的洛必达法则的证明也不是一目了然的事情。下面给出一种新的证明方法。

（2）利用牛顿-莱布尼茨公式证明。

2 积分因子法在微分学中的应用

积分因子法的求解思想主要是当目标函数或方程中同时出现某一函数的一次项及其导数项的时候，可以构造积分因子，将其整体视为某一函数的导数。

例2设f（x）在[0,1]上可导，且f（0）=f（1）=0，求证：存在ζ∈（0,1），使得f′（ζ）+f（ζ）=0。

分析:此例中所要证明的结论中含有目标函数及其一阶导数，通过积分因子，构造一个函数，使左端整体上恰为某一函数的导数，这样就可以利用洛尔定理来证明。……