Littlewood-Paley算子交换子的Lipschitz估计

王洪彬,武怡宏(淄博师范高等专科学校, 山东 淄博 255130)



Littlewood-Paley算子交换子的Lipschitz估计

王洪彬,武怡宏(淄博师范高等专科学校, 山东 淄博 255130)

本文应用变指标Herz型Hardy空间上的原子分解定理, 证明了由Littlewood-Paley算子和Lipschitz函数生成的交换子在变指标Herz型Hardy空间上的有界性.

Littlewood-Paley算子；交换子；Herz型Hardy空间；变指标；Lipschitz估计

一、预备知识和记号

赋予如下Luxemburg-Nakano范数

‖f‖Lp(•)(Ω)=

则Lp(•)(Ω)是Banach空间, 称之为变指标Lebesgue空间, 或者可以简单地看作是变指标Lp空间, 因为它们推广了标准的Lp空间: 如果p(x)=p是常数, 那么Lp(•)(Ω)与Lp(Ω)是等距同构的. 变指标Lp空间是Musielak-Orlicz空间的一种特殊情形.

Lipβ(n)=

定义 1.1[5]令α∈, 0

在此基础上我们给出变指标Herz型Hardy空间的定义及其原子分解特征. 用S(n)表示n上的Schwartz空间, 它是由无穷可微且在无穷远处迅速递减的函数所构成的,S'(n)表示S(n)的对偶空间. 令GNf(x)为f(x)的grand极大函数, 其定义为

定义 1.2[7]令α∈, 0n+1.

定义 1.3[7]令nδ2α<,

q(·)∈Ρ(n)且非负整数s≥[α-nδ2].

(2) ‖a‖Lq(·)(n).

(1)' 对某个r≥1有suppa⊂B(0,r).

引理 1.1[7]令nδ2α<, 0

其中下确界是对f的所有上述分解而取的.

其中下确界是对f的所有上述分解而取的.

在主要结论的证明中，我们还需要下面的几个引理.

引理 1.2[1]令p(·)∈Ρ(n). 若f∈Lp(·)(n)且g∈Lp'(·)(n), 则fg在n上可积并且

其中rp=1+1/p--1/p+. 上述不等式被称为广义Hölder不等式.

引理 1.3[5]令p(·)∈Β(n). 则存在正常数C使得对所有n中的球B和所有可测子集S⊂B, 都有

其中δ1,δ2是常数且满足0<δ1,δ2<1(注意在整篇论文中δ1, δ2都同引理1.3中的一样).

引理 1.4[5]设p(·)∈Β(n). 则存在常数C>0使得对所有n中的球B, 都有

二、主要结论及证明

给定ε>0和函数ψ满足下面三个条件：

(1)∫nψ(x)dx=0,

定义Littlewood-Paley算子为

且ψt(x)=t-nψ(x/t),t>0.

令b∈Lipβ(n), 由Littlewood-Paley算子和b生成的交换子[b,Sψ]定义为

[b,Sψ]f(x)=

其中Fb,t(f)(x,y)=

∫nψt(y-z)f(z)(b(x)-b(z))dz.

下面我们给出交换子[b,Sψ]在变指标Herz型Hardy空间中的有界性.

定理 令b∈Lipβ(n),

0

因此, 我们得

=:I1+I2.

(1)

我们首先估计I1. 由aj的消失矩条件和广义Hölder不等式, 我们得

所以由Iβ的(Lq1(•)(n),Lq2(•)(n))有界性, 上式以及引理1.2-1.4, 我们有

‖[b,Sψ](aj)χk‖Lq2(·)(n)C2jε+kβ-k(n+ε)‖aj‖Lq1(·)(n)‖χBj‖Lq1'(·)(n)‖χk‖Lq2(·)(n)

(2)

I1=

(3)

I1

(4)

现在我们来估计I2. 类似于I1, 我们可得

‖[b,Sψ](aj)χk‖Lq2(·)(n)C2j(β-n)‖aj‖Lq1(·)(n)‖χBj‖Lq1'(·)(n)‖χk‖Lq2(·)(n)

I2=

(5)

I2

(6)

结合(1)和(3)-(6), 我们有

因此, 定理得证.

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(责任编辑：胡安波)

By using the atomic decomposition characterizations of Herz-type Hardy spaces with variable exponent, some boundedness of the commutators generated by Littlewood-Paley operators and Lipschitz functions on the Herz-type Hardy spaces with variable exponent is obtained.

Littlewood-Paley operator；commutator；Herz-type Hardy space；variable exponent；Lipschitz estimate

2015-11-05

王洪彬(1981-)男，博士，山东淄博人，淄博师范高等专科学校数理系教师，主要从事调和分析方向研究；武怡宏(1986-)女，硕士，山东潍坊人，淄博师范高等专科学校招生就业处教师，主要从事英语教育研究。

O174.2

A

(2016)02-0045-04