SPGL1算法在地震资料随机噪声压制中的应用❋

张博伦， 王林飞❋❋， 蔡正辉， 黄云笛

(1.中国海洋大学海底科学与探测技术教育部重点实验室， 山东 青岛 266100； 2.中国海洋大学法政学院， 山东 青岛 266100)



SPGL1算法在地震资料随机噪声压制中的应用❋

张博伦1， 王林飞1❋❋， 蔡正辉1， 黄云笛2

(1.中国海洋大学海底科学与探测技术教育部重点实验室， 山东 青岛 266100； 2.中国海洋大学法政学院， 山东 青岛 266100)

为了提高地震资料的信噪比，本文基于稀疏表示理论，将SPGL1算法应用到地震资料随机噪声的压制中，在构建过完备原子库时，以Morlet子波为基础，应用Hilbert变换确定待分解数据的瞬时属性，并将此作为过完备原子库时频参数选取范围，提高计算效率。通过合成数据和实际资料的处理分析，证明了该方法具有良好的去噪效果。

SPGL1； 稀疏分解； 去噪； Morlet子波； 过完备原子库； Hilbert变换

从野外采集到的地震资料中，一般都含有干扰信号，随机噪声就是一种常见的干扰信号。随机噪声在地震记录中没有统一的分布规律，也没有固定的传播方向，是随机出现的，较难去除。为了压制随机噪声，提高地震资料的信噪比，人们已提出了多种基于信号分解理论的方法，如傅里叶变换、短时傅里叶变换、Gabor变换、小波变换等分解变换方法。这些变换通常是根据信号自身的特点，将其分解在一组完备的正交基上，得到相应的分解系数，然后利用有效信号和干扰信号的差异在系数域上做相应处理，最后通过反变换达到去噪的目的。它们的共同点是给定信号的表示形式唯一，一旦信号的特征与基函数不完全匹配，那么所获得的分解结果就不一定是信号的稀疏表示[1]，就很难将有效信号和干扰信号区分开来。近年来在数字图像处理领域越来越流行的稀疏表示理论恰恰能弥补这些传统信号表示方法的不足。

1993年，Mallat和Zhang在小波分析的基础上提出了信号在过完备原子库上分解的思想[2]。即将信号在符合自身特征的过完备原子库上进行分解，能够实现对信号更灵活，更简洁和自适应的表示，即稀疏表示。根据稀疏表示理论[3-5]，对含噪信号而言，具有一定结构特征的有效信号能够在过完备原子库中得到稀疏表示，而随机噪声则不能。用选取的N个最佳时频原子的线性组合表示有效信号，残差部分作为噪声，从而达到去噪的目的。相比基于传统信号表示理论的去噪方法，稀疏分解去噪法能够最大程度地将有效信号和干扰信号区别开来。近年来，稀疏表示理论也被人们引入到地震资料的去噪中[6-10]，然而这些应用大多是基于MP算法(匹配追踪)[2]对地震信号进行稀疏分解的。时至今日，人们已提出多种稀疏分解算法，主要包括两大类，一类是以MP和OMP(正交匹配追踪)为代表的贪婪算法类，这类算法计算复杂度低，易于实现，但是计算精度不高。另一类是凸松弛法，这类方法通过将非凸问题转化为凸问题求解，从而找到信号的逼近，如BP(基追踪)，内点法，L1LS(L1范数罚的最小二乘LS方法)等。SPGL1(spectral projection gradient for L1 minimization，L1范数约束下谱投影梯度)算法[11]也属于凸松弛类，其计算精度高，适用于求解大规模问题以及复数域问题，在解决大型稀疏矩阵-向量积上有出色的表现，E.Berg和M. Friedlander进行的一系列数值测试证明了SPGL1算法具有很强的优势[12]。

本文将SPGL1算法应用到地震数据随机噪声压制中，在构建过完备原子库时，以Morlet子波为基础，通过对Morlet子波伸缩、平移和调制来构建基于Morlet时频原子的过完备原子库。为了使构建的原子库更有针对性，本文运用Hilbert变换获得待分解数据的瞬时属性，并将此作为过完备原子库时频参数选取范围，以提高计算效率。并运用合成数据和实际地震资料对该套方法进行测试分析，也同小波阈值去噪法进行了对比，验证了该方法的有效性。

1 基于SPGL1算法的随机噪声压制

1.1 SPGL1算法去噪原理

Chen和Donoho等[13]将基于L1范数的稀疏分解算法称为基追踪(Basis Pursuit，BP)，BP是一种凸松弛方法，其数学模型为：

BP：min‖x‖1s.t.b=Ax。

(1)

式中:A为过完备原子库;x为信号b在A下的分解系数。当b中含有噪声时，基追踪问题即可转化为基追踪降噪(Basis Pursuit Denoising，BPDN)[14]：

BPDN：min‖x‖1s.t.‖Ax-b‖2≤σ。

(2)

式中σ为信号b中噪声水平的估计，当σ=0时，BPDN问题等价于BP问题。此外，L1 范数方法还包括 LASSO[15](The Least Absolute Shrinkage and Selection,最小绝对收缩与选择)：

LASSO：min‖Ax-b‖2s.t.‖x‖1≤τ。

(3)

式中τ为有效信号稀疏度。

SPGL1算法是由EwoutVanDenBerg和MichaelP.Friedlander于2008年提出的，适用于求解大规模问题。算法核心思想是将BPDN问题转化为一系列的LASSO子问题，然后用梯度投影法求解LASSO问题，通过求解LASSO问题达到求解BPDN的目的。

1.2 基于Morlet子波的过完备原子库

Morlet子波与地震子波具有相似性，在地震资料处理领域被广泛应用[16-19]，可以通过Morlet子波(子波)伸缩、平移和调制来匹配实际地震数据[20]。本文选取Morlet子波构建过完备原子库，Morlet子波在时域中的表达为：

(4)

式中：f是频率参数；u是时间延迟；k是尺度参数；φ是相位参数。为了降低计算复杂度，将尺度参数k设置为0.5[21]。如图1所示，(a)为零相位，主频20 Hz的Morlet子波M(取实部)，(b)为它的振幅谱(振幅做归一化处理)。

((a)20 Hz零相位Morlet子波M；20 Hz zero phase Morlet wavelet M;(b)子波M的振幅谱； Amplitude spectrum of wavelet M.)

(5)

(6)

式中：S为有效信号；noise为噪声；mn为S基于原子库A分解后的Morlet原子；an为有效信号S在A中的分解系数。

图2 子波M的瞬时频率

1.3 SPGL1算法去噪流程

现总结SPGL1算法去噪流程如下：

(1)运用Hilbert变换将实地震道信号转换成复地震道信号。

(2)求取复地震道信号包络的峰值处对应的时间，以及瞬时频率和瞬时相位信息。

(3)将包络的峰值时间作为Morlet原子库的时间延迟的取值，瞬时频率作为频率参数的取值，瞬时相位作为相位参数的取值。

(4)运用SPGL1稀疏分解算法求取地震信号基于过完备原子库的分解系数。

(5)计算过完备原子库(矩阵)与分解系数(向量)的积，即为去噪后的地震数据。

2 效果分析

2.1 合成数据测试

((a)合成地震记录；Synthetic seismogram;(b)加入噪声后的记录;After adding noise.)

图4 含噪记录的复地震道及其峰值包络

((a)瞬时相位；Instantaneous phase;(b)瞬时频率；Instantaneous frequency.)

((a)SPGL1算法去噪效果；Denoising effect of SPGL1 algorithm;(b)小波阈值去噪效果；Wavelet threshold denoising effect;(c)误差；Error contrast.)

2.2 实际地震资料测试

同样的，在将此方法运用于实际地震资料处理前，也需先获得地震数据的瞬时属性以构建更有针对性的过完备原子库，然后预估出噪声水平σ作为信号重构误差(噪声估计不作为本文讨论重点)，运用SPGL1算法将地震信号在过完备原子库上分解，获得稀疏系数，原子库矩阵与系数向量的积即为去噪后的数据。图7所示为将本文所讨论方法和小波阈值去噪法分别运用于实际地震资料处理前后的对比情况，为便于识别，在显示效果上均加入AGC(自动增益控制)。

通过对比不难看出，应用小波阈值法去噪后地震数据仍有“毛刺”现象，去噪不彻底，而基于SPGL1的去噪方法效果更好，去噪后同相轴清晰可辨。同时能最大程度地保护有效信号，应用效果要优于小波阈值去噪法。需要说明的是，为了防止原子库过大而影响计算效率，本文在构建基于Morlet子波的过完备原子库时是将尺度参数设置为一固定值0.5，这样势必会影响有效信号的重构精度。如何选取更合适的尺度参数以及怎样优化原子库的设计将是作者在以后学习中的重点研究的内容。

3 结语

SPGL1算法运算精度高，适合于求解大规模问题。本文将该算法应用于地震资料随机噪声的压制中。在合成数据和实际资料的去噪中均取得了良好的应用效果。相对于小波阈值去噪，基于SPGL1算法的去噪方法具有明显优势。

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责任编辑 徐 环

Application of SPGL1 in Random Noise Suppression of Seismic Data

ZHANG Bo-Lun1, WANG Lin-Fei1, CAI Zheng-Hui1, HUANG Yun-Di2

(1.The Key Lab of Submarine Geosciences and Prospecting Techniques, Ministry of Education, Ocean University of China; 2.College of Law and Politics, Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

In seismic exploration, random noise seriously distorts and interferes with seismic signal. In this study, the SPGL1 algorithm of seismic data denoising is adopted based on the sparse representation, which can efficiently suppress random noise and certainly enhance the SNR. During the creation of over-complete dictionary of atoms, instantaneous attributes of undecomposed data are ascertained by Hilbert-Transform with the help of Morlet wavelet, which are regarded as the range of time-frequency parameters of the over-complete dictionary of atoms. Both theoretical analysis and actual results show that, comparison with wavelet threshold denoising method, the proposed method is of strong denoising ability and fast processing rate.

SPGL1； sparsity decomposition； de-noising; morlet wavelet； hilbert-transform； over-complete dictionary of atoms

国家自然科学基金青年科学基金项目(41204087)；教育部高等学校博士学科点专项科研基金新教师类课题(20120132120030)资助 Supported by the Project of National Natural Science Foundation of China (41204087)； the Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education (20120132120030)

2015-07-03；

2015-10-30

张博伦(1990-)，男，硕士生，主要从事海洋地震信号处理研究。E-mail: 1129280705@qq.com

❋❋ 通讯作者：E-mail:wanglf@ouc.edu.cn

P631.4

A

1672-5174(2016)12-081-06

10.16441/j.cnki.hdxb.20150273

张博伦， 王林飞， 蔡正辉， 等. SPGL1算法在地震资料随机噪声压制中的应用[J]. 中国海洋大学学报(自然科学版), 2016, 46(12): 81-86.

ZHANG Bo-Lun, WANG Lin-Fei, CAI Zheng-Hui, et al. Application of SPGL1 in random noise suppression of seismic data[J]. Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(12): 81-86.