“假设法”在小学数学教学中的实践研究

（东莞市东城第六小学，广东 东莞　523006）

一、什么是假设法

假设法是指当某一变因素的存在形式限定在有限种可能时，假设该因素处于某种情况，并以此为条件进行推理，从而得到问题答案的一种方法。简而言之，假设法是用特殊的个例代替一般的现象，从而解决问题的方法。例如，在解决数学问题“A的1/3等于B的1/4，A与B的比是多少？”时，为了便于思考，假设A等于3，求出B等于4，得到A与B的比是3：4,用数字3代替符号A来解决问题，就是典型的假设法。

二、小学数学教材中假设法相关内容的安排和变迁

假设法是解决数学问题的重要方法之一，但是在小学数学教材中（以人教版教材为例），有关假设法的内容却是少之又少。典型的课例一共只有3节，分别是四年级下册数学广角中的“鸡兔同笼”、六年级上册的“工程问题”和六年级上册的“用百分数解决问题”。

在这3节课例中，“鸡兔同笼”问题是在2014年新教材改版时，从六年级上册调到四年级下册的，四年级的学生没有学习过方程，假设法就成了解决“鸡兔同笼”问题最主要的方法。“工程问题”由于外界的争议，在义务教育课程标准实验教科书中，退出了小学数学的舞台。2011年，教育部颁布了新的课程标准后，重新修订了教科书，“工程问题”又被编进了小学数学教材。这一退一回之间，彰显了“工程问题”的数学价值，它是“分数除法”这一单元的最后一个例题，是学生系统学习了分数相关知识后对分数认识的又一次升华，是运用分数解决生活中实际问题的典范，是体现分数抽象性的最好素材，也是用假设法解决问题最典型的例子。“用百分数解决问题”是2014年新教材改版时新增的内容，在物品单价的一涨一跌中，随着“单位1”的变化，百分数表示数量的多少也随着发生变化，起始单价不同，最终的单价也不同，但它们之间的比率始终不变。这体现了在用假设法解决问题时，无论怎么假设，只要不违背问题的要求，得到的结论始终一致的数学本质。

三、“假设法”教学策略探究

在小学数学教材中，关于假设法的3节典型课例，由于其出现的顺序不同，学生的年龄和认知水平不同，对每节课教学任务和重心也有不同的要求。在实际的教学中，教师应准确把握教材，整体规划每节课的教学目标，让学生经历完整的用假设法解决问题的过程，体验用假设法解决问题的数学本质。接下来本人就以这3节课为例，谈一谈用“假设法”解决问题教学策略。

（一）鸡兔同笼问题教学策略探究

1.画图——直观与抽象之间的桥梁

在教学“鸡兔同笼”时，为了让学生理解假设法，教师们常常把“尝试法”（又称“列表法”）和“假设法”联系起来进行教学。从数学的角度来看，“列表法”和“假设法”本身就是同胞兄弟，假设法只是尝试法的另一种表达形式，教材在编排上也是这样体现的。问题是尝试法本身就是很抽象的，用一种抽象的方法来解释另一种更加抽象的方法，对于学生的学习来说，帮助是微乎其微的。因此，我们应该找到一种更加直观的方法来解释假设法的合理性。对于解决鸡兔同笼问题来说，画图法是一种比较理想的选择。

课堂实录及简析：

（1）用数学的眼光来看待画图

师：同学们在上美术课的时候画过鸡和兔吗？

生：画过。

师：在美术课上画1只鸡或1只兔子大概要多长时间？

生1：30分钟吧。

生2：1小时吧。

生3：我只要20分钟。

……

师：按最快20分钟画1只小动物来计算，1节课大约可以画2只小动物，可是，我们这节数学课需要画很多的鸡和兔，怎么办呢？

生1：我们可以画快一点。

生2：可以画简单一点，画一个脑袋就可以了。

生3：我觉得前面几个同学的做法还是会浪费很多时间的，上数学课时，只需要画出小鸡和小兔数学上的区别就可以了。

师：用数学的眼光去观察，鸡和兔最明显的区别是什么？

生：鸡有2条腿，兔子有4条腿。

师：现在你觉得能在短时间内画出很多鸡和兔了吗？请你设计一个最简单的画法。

生：能。

学生作品展示之后，教师引导学生进行比较，为了在后续学习中交流的需要，教师规定在这节数学课上鸡和兔的画法：

师：通过上面的学习我们发现，在数学课上画图和平常的画图有什么区别？

生：数学课上画图只需要画出数学上的区别就可以了。

师：像这样画鸡和兔，如果不小心把鸡画成了兔，或把兔画成了鸡，怎么办呢？

生：不小心把鸡画成了兔，只要把上面的两条腿擦掉就可以了。不小心把兔画成了鸡，只要在上面加上两条腿就可以了。

画图是学生解决问题的重要辅助方法，数学课上的画图有着其本身独有的特点。教师通过上述的教学环节，帮助学生理解“数学图”的特征——用高度的抽象性去区分事物的数学差异，并借此为接下来的教学作好铺垫。

（2）画出简单鸡兔同笼问题的答案

师：在这节课里，我们来研究我国古代著名的一个数学趣味题。

(出示简化后的例题：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？)

师：看完题目，你有什么感受？

生1：不知道从哪里开始思考。

生2：好像有点难。

……

讨论一段时间后，有个学生站起来说：能不能用画图的方法试一试。（其它同学表示赞同。）

师：那就请大家动手画一画吧。

(学生画完后汇报，主要有以下2种画法)

画法1：（先画5只鸡，发现腿画少了，然后调整。）

画法2：（先画5只兔，发现腿画多了，然后调整。）

简化鸡兔同笼问题，方便学生画图和理解，并通过学生汇报过程中对画图步骤的简述，使学生初步感受，画图法其实就是假设法的直观体现。

（3）用假设法描述画图的过程

师：刚才同学们用画图的方法解决了这个问题，这些画图的方法能不能用数学语言记录下来呢？

师生一起记录第一种画法。(课件动态演示)

假设5只全都是鸡。

用算腿的方法发现少画了6条腿

5×2=10（条）16-10=6（条）

把一只鸡变成兔会增加2条腿

4-2=2（条）

少画了6条腿需要把3只鸡变成兔

6÷2=3（只）

兔有3只，鸡就有2只

5-3=2（只）

学生独立记录第二种画法。（教师播放课件辅助）

假设5只都是兔。

5×4=20（条）

20-16=4（条）

4-2=2（条）

鸡的只数：4÷2=2（只）

兔的只数：5-2=3（只）

运用动态的课件，建立画图法和假设法之间的联系，使学生进一步理解画图法是假设法的直观体现，假设法是画图法的数学表达。

2.真假——体验完整的假设过程

上述2种假设的方法，是教师们在教学中的主流方法，很多教师的教学到这里就结束了。我们都知道，很多数学概念都是有“真”有“假”的，也就有了真命题和假命题的区分。那么，假设法是不是也应当有真假之分呢？也就是说有时假设的不成立的，有时假设是成立的。在课堂中，我们只教学“不成立”的假设法，会影响学生对假设法的理解，从而影响学生思维全面性的发展。鉴于以上思考，笔者进行了如下的教学尝试。

课堂实录及简析：

师：老师这里还有一种画法。

课件展示：

（先画4只鸡和1只兔，发现少了4条腿，然后调整。）

师：这种画法，还能像刚才那样用数学语言记录下来吗？请大家试一试。

（学生完成以后交流）

假设有1只兔，4只鸡

1×4+4×2=12（条）

16-12=4（条）

4-2=2（条）

4÷2=2（只）

兔的只数：1+2=3（只）

鸡的只数：5-3=2（只）

师：如果有同学运气特别好，一开始就画成这样了，用数学语言又应该怎样记录呢？

（课件展示）

（学生完成以后交流）

假设有3只兔，2只鸡

3×4+2×2=16（条）

16（条）=16（条）

假设成立

师：刚才我们用很多种不同的方法都算出了鸡有2只，兔有3只。同学们思考这个答案到底对不对呢？有什么方法可以验证吗？

生：可以用算头、算脚的方法验证：3+2=5（只）3×4+2×2=16（条），与题目中的条件相符，所以答案是正确的。

通过多种假设方法的教学，使学生体验假设法的多样性以及多种方法之间存在的一致性。感受假设法是有“真”有“假”的，经历更加完整的假设过程。

3.对比——建立假设法解题模型

教学进行到这里，学生已经历了比较完整的用假设法解决鸡兔同笼问题的过程，但是，经历过最多只能停留在经验的层面，过些时间就遗忘了。因此，教师必须引导学生对不同的方法进行对比，通过对比建立用假设法解决同类问题的模型。

课堂实录及简析：

师：刚才我们用数学语言把画图的过程记录下来的方法叫做假设法，这节课我们一共用了4种不同的假设法来解决鸡兔同笼问题，请大家仔细想一想，用假设法解决问题一般要经历那些步骤。

教师结合学生的回答，由师生一起建构用假设法解决问题的模型：

（二）“工程问题”教学策略研究

1.对比——彰显用假设法解决“工程问题”的必要性

在学习了“鸡兔同笼”问题之后，学生再次用学习用“假设法”来解决“工程问题”，这中间间隔了1年多时间。如何唤醒学生尘封了一年多的记忆，是教师教学“工程问题”时必须面临的问题。对比题组之间的差别，可以较直接引发学生的思考，从而顺利地想到用“假设法”来解决工作总量未知的工程问题。

课堂实录及简析：

（1）复习铺垫，换醒学生已有经验

复习简单的工程问题:

师：在我们学习数学的过程中，经常会遇到和完成某件工作有关的数学问题，例如：（依次出示复习题）

复习题1.工程队修一条长30千米的公路，需要10天完成，平均每天修多少千米？

学生口答：30÷10=3（千米/天）。

师：你列式的依据是什么？

生1：求“平均每天修多少千米？”就是把30千米长的公路平均分成10份，所以用30÷10。

生2：求工作效率，就是用工作总量÷工作时间，所以用30÷10。

课件出示：工作总量÷工作时间=工作效率

复习题2.工程队修一条长30千米的公路，每天修3千米，多少天修完？

学生口答：30÷3=10（天）。师：你列式的依据是什么？生1：求“多少天修完？”就是求30千米里面有几个3千米，所以用30÷3。

生2：求工作时间，用工作总量÷工作效率，所以用30÷3。课件出示：工作总量÷工作效率=工作时间

复习题3.修一条长30千米的路，甲工程队单独修10天完成，乙工程队单独修15天完成。现在两队合修几天可以完成？

学生独立完成——小组讨论交流——全班汇报交流。

师板书：30÷10=3（千米/天）→甲队的工作效率

30÷15=2（千米/天）→ 乙对的工作效率

30÷（3+2）=6（天）→ 两队合修所需的时间

师：最后一步列式的依据是什么？

生：工作总量÷工作效率=工作时间

师：这里的工作效率和前面的两个题目中的工作效率有什么不一样吗？为什么？

生：前2题都是单独修，所以工作效率是甲队或者乙队单独的工作效率，第3题是两队一起修，所以工作效率是甲乙两队的工作效率和。

师（小结）：看来我们需要根据参与修路的具体情况来确定工作效率。

（2）导入新课

师：在前面的学习中，还见过和上面3个问题相似的数学问题吗？

生：……

师：我们把像这样的数学问题叫做工程问题，这节课我们就一起来学习工程问题。（板书课题）

（设计意图：通过复习唤醒学生和工程问题有关的经验，复习工作时间、工作效率和工作总量3个量之间的关系，为学生接下来学习较复杂的工程问题做好铺垫。）

2.新课学习,探讨解决工程问题的一般方法

(1)出示问题，理解题意

例7：修一条路，如果甲队单独修10天能修完，如果乙队单独修15天才能修完，如果两队合修，多少天才能修完？

师：从题目中我们知道了什么？要求什么？

生：已知甲乙两队单独修所需要的时间，求两队合修所需要的时间。

（设计意图：引导学生理解题意，培养学生良好的审题意识和解题习惯，为接下来的教学打好基础。）

(2)对比思考，制定计划

师：已知甲乙两队单独修所需要的时间，求两队合修所需要的时间。有困难吗？该怎么办呢？

生：……

师：好像有点困难了！回忆一下，我们见过和它长得比较像的数学问题？

生：刚才做的复习题3和这个问题很像。

课件出示：

复习题3：修一条长30千米的路，甲工程队单独修10天完成，乙工程队单独修15天完成。现在两队合修几天可以完成？

例7：修一条路，如果甲队单独修要10天才修完，如果乙队单独修15天才能修完，如果两队合修，多少天才能修完？

师：仔细观察，这两个长得特别像的数学问题有区别吗？

生：例7不知道这条路的总长。

师：不知道这条路的总长度，要是知道这条路的总长度就好了，不知道这条路的总长度怎么办呢？（学生讨论）

生：可以假设，只要假设这条路的总长是一个具体的数，就可以像复习题3那样解决这个问题了。

3.辩论——感受不同假设法之间的数学差异

当用“假设法”解决工程问题提出以后，把工作总量假设成多少？是学生面临的最为直接的问题。课堂不是教师的一言堂，教师直接指定一个数据会不利于学生的后续学习。教师抛出问题之后，适时组织学生进行辩论，得到学生自认为最合适的几个数据，再让学生带着自己认为最合适的数据进行后续的学习，有利于提高学生的学习兴趣，扩大课堂的参与度。

课堂实录及简析：

师：假设是个好办法，可是假设这总长是多少好呢？为什么？

生1：假设这条路的总长是30千米，刚才在复习题3中已经算过了，可以直接知道答案。

生2：假设这条路的总长是60千米，60是10和15的公倍数，比较好算。

生3：可以假设这条路的总长是单位1。

4.实施——体验假设法解决“工程问题”的过程

由于在前面的环节中学生提出能假设的数据比较多，自然就会有“假设总长度是不同的数，得到的答案会不会一样呢？”这样的疑问，带着疑问去解决问题，不但能帮助学生积累解决问题的经验，也有助于学生发现隐藏在问题背后的数学本质。

课堂实录及简析：

师：刚才同学们建议老师把总长假设成30、45、1等，可是假设总长度是不同的数，得到的答案会不会一样呢？

生1:一样。

生2：不一样。

……

师：意见不同了，有什么办法说服对方吗？

生：可以算一算。

（学生动手独立计算——小组讨论——全班汇报交流。）

5.反思——感受不同假设方法之间的同一性

已经有了3组不同数据的计算结果相同，那是不是无论把这条路的总长假设成多少，得到的答案都会一样呢？变换几个数试一试，用不完全归纳法来说明问题，总是难以打消学生心中的疑虑。引入字母，让字母参与运算，得到的结论更加严谨，符合数学的学科特征。

课堂实录及简析：

师：刚才我们假设这条路的总长是不同的数字，都求出了两队合修需要6天完成。这能说明无论这条路的总长度是多少，得到的答案都一样吗？

生：不能，有可能变换个数就不一样了。

师：那怎么办呢？

生：可以变换个数试一试。

师：换成多少呢？为什么？

生1：我觉得换成50,50和刚才的数不一样，它不是10和15的公倍数。

生2：可是就算换成50算出来的答案也是2天，也不能说明无论不管这条路的总长度是多少，得到的答案都一样。

生3：那我们就把这条路的总长假设成X吧。

师生共同计算：X÷10=X/10X÷15=X/15

X÷(X/10+X/15)=X÷X/6=X×6/X=6(天)

师：现在能说明不管这条路的总长度是多少，得到的答案都一样吗？

生：能，因为这里的X可以表示任何数。

6.内化——理解不同假设法之间的同一性

“无论假设这条路的总长度是多少，得到的答案都一样。”这个结论是学生通过观察不同的假设方法归纳得到的，但学生并不理解这之间的数学原理。适时的观察、比较、讨论，可以帮助学生更好理解假设法，发现不同方法之间的相通之处，这也正是数学的魅力所在。

课堂实录及简析：

师：工作总量不一样，得到的答案却相同。这是为什么呢？请同学们仔细观察这些方法，想一想它们之间有没有相通的地方？

（学生单独思考——分小组讨论——全班汇报，最后达成共识）

结论：无论把工作总量假设成什么数，都可以把这个数看做单位一，甲队每天修这条路的1/10，乙队每天修这条路的1/15，两队合作，每天修这条路的1/6，需要6天才能修完。

（三）“用百分数解决问题”教学策略研究

“用百分数解决问题”和“工程问题”这2节课都安排在六年级上册，解决问题的方式又特别接近，且间隔的时间比较短。学生对用“假设法”解决问题的过程还比较熟悉，因此这节课的教学可以采取开门见山的方式进行。大体上可以分为以下几个环节。

1.直接引入课题，出示主例题：某种商品4月的价格比3月下降了20%，5月的价格比4月又上涨了20%，5月的价格和3月比是上涨了还是下降了？变化幅度是多少？

2.阅读与理解：知道了什么信息，要求什么，你遇到的最大困难是什么？

3.讨论：“不知道商品原来的价格”怎么办？引出用假设法解决问题。

4.辩论：“假设3月份的价格是多少比较好？”引导学生从方便计算的角度进行思考，可以把3月的价格假设为1、100…这样的数比较利于计算。

5.学生选取自己喜欢的数，把它假设为3月的价格，并独立解决问题。

6.全班交流，比较不同的假设法之间的相同之处：得到的结论一样。

7.质疑：无论把3月的价格假设为多少，结论都会是一样吗？

8.验证：把3月的价格假设为a元，学生再计算。

9.统一认识：无论假设3月的价格为多少，得到的结论都相同。

10.探究结论后隐藏的数学原理：为什么跌价和涨价的幅度都是20%，价格却和最开始的不一样了。

11.数学建模：回顾用“假设法”解决课堂教学问题经历了哪些步骤？

12.巩固练习。

用“假设法”解决数学问题能培养学生的抽象能力，加快学生从形象思维到抽象思维过渡的进程。用特殊个例代替一般现象的思维方式，存在于数学领域中，也是人们解决一般问题较常见的思维方式，具有重要教育意义。然而，纵观整个小学阶段的数学教材，仅安排了3个课时的教学内容，很显然，学生很难在这么短的时间内掌握如此抽象的思想方法。我们建议教材编写者可适当增加有关内容的编排；也建议广大小学数学教师，在现有教材不变的情况下，适当自主增加一些相关内容的教学，让学生真正掌握“假设法”。

参考文献：

[1]史宁中.数学思想概论（第五辑）[M].长春：东北师范大学出版社，2015：3.

[2]王永春.小学数学与数学思想方法[M].长春：东北师范大学出版社，2014：1.

[3]杨豫晖.义务教育数学课程标准（2011年版）案例式解读[M].北京：教育科学出版社，2012：3.