分类讨论思想在高中数学解题中的应用

沈淼楠

【摘要】分类讨论思想是中学基本数学思想之一。在解题时如果可以进行正确、合理、严谨的分类，就可以把一个复杂的问题简化，达到化难为易，分而治之的目的。但往往实际解题时仍存在不少问题，若不能突破这些难点，反而会对解题造成负担。结合具体案例，对分类讨论思想在高中数学解题中的应用问题进行一些探讨。

【关键词】高中数学 分类讨论思想 解题

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）12-0146-02

对于学生而言，数学的学习要善于学以致用，而解题则是最直接的体现途径。波利亚的《怎样解题》一直被奉为经典数学专著，他曾说过：“掌握数学意味着什么？意味着善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理，见解独到和有发现创造的题。”波利亚的解题理论如何才能实现呢？分类讨论思想就是其中的一条途径。

分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释。翻阅高中数学教材，其中用到分类讨论的知识点大致有如下一些：

一、分类讨论在集合中的应用

当集合中的字母不确定时，常用到分类讨论的方法，如以下问题：

例1、已知 ，

求p，q满足的条件。

解：先求，因为，所以，

解决这类问题首先得明确集合间的关系（子集考查较多），在分类讨论时可以依据集合元素的个数（由0个开始）来依次讨论，这样可以避免空集的遗漏。

二、分类讨论在解析几何中的应用

在遇到含参数求解直线方程时，常用到分类讨论的思想，如以下问题：

例2、已知两点A（-1，2），B（m，3），求直线AB的方程；

解：当m=-1时，直线AB的斜率不存在，AB的方程为x=-1；

当m≠-1时，k=，AB的方程为y-2=（x+1），即y=

∴直线AB的方程为x=-1或y=.

遇到含参数的问题时，一般都会考虑特殊情况，而直线出现时就得考虑斜率是否存在的问题。对这类问题的处理方式也就是依据斜率是否存在来进行分类讨论。

三、分类讨论在一元二次不等式中的应用

当出现求解含参数的不等式问题时，也常用到分类讨论的思想，如以下问题：

例3、 解关于 的不等式.

含参数的一元二次不等式首先以二次项系数与零的大小为分类标准分类讨论；然后把不等式转化为标准形式的一元二次不等式（二次项系数大于零）后，再以判别式与零的大小为分类标准讨论；最后如果判别式大于零，但此时两根大小仍不能确定，再以兩根大小为分类标准分类讨论。

分类讨论思想在高中数学中应用较多，比如还有一次函数的斜率k与图像位置及函数单调性的关系，等比数列前年n项和公式中q=1和q≠1的区别，线段定比分点P在P1P2的外侧与内侧对λ的影响等，这里由于篇幅原因就不一一介绍了。

从上面诸多讨论中可以看出，分类讨论思想在求解函数、数列、解析几何、立体几何、排列组合、概率等数学问题中有着广泛的应用。分类讨论思想是把双刃剑，掌握好了不论对于学生解题还是思维能力的提升都有诸多益处。然而如果出现了分类标准不明确、遗漏分类或结果处理的错误，将也会成为学生通向高分之巅的拦路虎。

参考文献：

[1]宋远芬，孙德贵.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[J].科技风.

[2]曲一线.高中知识清单（数学）[M].首都师范大学出版社，2013.