2016年安徽中考数学卷压轴题的解题方法指导

俞成

摘要：几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，这类题目出法相当灵活。安徽省中考数学卷，连续四年用此类型问题压轴。掌握一定的分析、解决问题的方法，总结一些相对固定的几何模型，能让学生真正做到举一反三，提高学生解决此类问题的能力。

关键词：中考数学；压轴题；解题方法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）12-0117

几何证明的主要方法有综合法和分析法。综合法是指由因导果，从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；分析法是指執果索因，从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实或命题条件为止。而在实际解题过程中，往往要将这两种方法结合起来综合运用。下面就以2016年安徽中考数学卷压轴题解题指导为例，谈谈如何有效求解几何证明题。

一、原题呈现

（2016·安徽）如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点。

（1）求证：△PCE≌△EDQ；

（2）延长PC，QD交于点R。

①如图1，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；

②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和■的值。

二、解题指导

在解决几何问题时，审题尤为重要。读题时，要能将已知条件融于图形中，了解图形的建构过程，然后从复杂的图形中抽象出简单的几何模型。本题的条件较为简单，但图形结构比较复杂。分析已知条件：根据△OAP、△OBQ为等腰直角三角形，点C、D分别是OA、OB的中点，我们可以从图形中得到“由等腰直角三角形及底边中线”构成的第一个简单几何模型。在这一模型中，有我们熟悉的“等腰三角形三线合一”及“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”两个重要的定理。由此，可得出：PC垂直平分OA；QD垂直平分OB；PC=■OA；QD=■OB等结论。此外，根据点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点这一条件，我们可从图形中得到“由三角形的中位线构造的平行四边形”模型。在这一模型中，有我们熟识的“中位线定理”及“平行四边形的有关性质”。由此，可得出：CE∥■OB；DE∥■OA及平行四边形CODE的有关性质。审题至此，问题（1）“求证：△PCE≌△EDQ”的求解便水到渠成。

三、解题反思

几何问题的解决，要求学生必须在牢固掌握概念、法则、定理的几何图形基础上，能准确运用几何语言表达出来。在具体的解题过程中，能从复杂的几何图形中抽象出简单基本的几何模型，进而丰富已知条件，为利用综合法解决问题提供保证。

问题（2）的第①问“求证：△ABR为等边三角形”，可从分析法入手。证明一个三角形为等边三角形，常用方法有四种：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角为60°的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。结合问题（1）的证明过程，认识到直线PR、QR分别为线段OA、OB的中垂线。此时，联想到中垂线的性质定理，可尝试连接RO，简单推理后，可得到RA=RB。接下来，结合本题补充条件∠MON=150°，解决问题的的思路便基本明确。接下来，需要在等腰△ABR中寻找出一个60°的角。当我们将已知角（包括垂直产生的角）在图中逐一标注后，便能发现一个四边形RCOD，它的四个内角中已知三个内角，由此可得，∠CRD=30°。在此基础上，说明∠ARB=60°时，图形中包含一个有关角平分线定义的典例模型：在∠ARB内部引一条射线RO，分别作∠ARO与∠BRO的角平分线。至此，便可证得△ABR为等边三角形。

问题解决的突破口在于辅助线RO的连接。在几何问题的解决过程中，往往会遇到不完整的定理模型，此时需要根据定理的内容添加一些必要的辅助线。此外，解题时，还要注意补充条件的价值。补充条件往往对于问题的解决具有很强的指向性，这可以让我们在解决问题时，少走弯路。另外，在平时的习题演练中，对于一些典例模型的熟悉和掌握也是必要的。

接下来探究第②个问题时，一上来很难找到头绪。在第3幅图中，当△ARB∽△PEQ时，两个三角形都像是等腰直角三角形。回头观察第2幅图，当我们尝试连接PQ，会发现△PEQ依然保持直角三角形的形状。在第1幅图中，∠PEQ任保持直角形状。此时，经过推理，可得出∠PEQ恒为直角的结论。这时，通过前面问题的解决，想到∠MON大小可以通过180°-∠CRD得到，而∠CRD又等于∠ARB的一半。至此，∠MON的度数便可迎刃而解。通过这一问题的解决，我们可从图中发现两个全新的Rt△：Rt△APB和Rt△AQB，并且PE、QE分别为两直角三角形斜边上的中线，由此可得，AB=2QE。在等腰直角三角形PEQ中，PQ=■QE。至此，便可求出■的值。

我们在平时练习时，当解完一个几何综合题后，还要做进一步探究：解决问题的关键点是什么，图形中包含有哪些简单几何模型，解题时用到了哪些定理，图形中还可以寻找出哪些结论，问题还可以怎样进行延伸。学无止境中有法。这样的解题反思，可以让我们熟悉一般问题的建构过程，掌握解决常见问题的基本策略，从而提高我们的解题能力。

（作者单位：安徽省宁国市汪溪初中 242300）