一类具连续偏差变元的偶数阶中立型偏泛函微分方程振动性的进一步结果

林文贤

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州521041）

一类具连续偏差变元的偶数阶中立型偏泛函微分方程振动性的进一步结果

林文贤

（韩山师范学院数学与统计学院，广东潮州521041）

研究了一类带有非线性扩散系数和连续偏差变元的偶阶中立型偏微分方程的振动性，借助广义Riccati变换和微分不等式技巧，获得了这类方程分别在Robin、Dirichlet边值条件下所有解振动的若干新的充分性条件，所得结果推广了最近文献的相关结果．

振动性；偶阶；偏微分方程；中立型

1 引言

众所周知，振动是一种带有普遍意义的物质运动形式，是系统的主要动力学性质之一，在日常生产、生活中，振动现象屡见不鲜，如机械振动、声带振动、电磁振荡、热运动和原子运动等．由于振动的复杂性，人们往往通过简化假设，建立相应的数学模型，把复杂的振动问题用相对简单的数学方法加以描述，这便是动力方程的振动理论．动力方程的振动理论是微分方程定性理论的一个重要分支，在控制工程、机械振动、生物制药、力学等领域具有重要的应用价值．

1836年，Sturm在研究热传导问题时首次研究了二阶动力方程的振动性．此后，一个多世纪内，微分方程的振动理论发展比较缓慢，直到20世纪七八十年代，微分方程的振动理论逐渐成为了国内外学者研究的热点；随着研究的深入，研究的对象由线性微分方程拓展到次线性方程、半线性方程、超线性方程等情形，方程的阶数由二阶拓展到三阶，再拓展到偶数阶，由连续动力拓展到离散动力方程、时间尺度上的动力方程，而且研究的方程也由一般情形拓展到时滞方程、中立型方程、阻尼方程等情形．

偏泛函微分方程振动理论是微分方程定性理论研究的一个重要组成部分，时滞的存在使系统能更精确地反映事物的变化规律，同时也使得系统的振动性分析变得更加困难．由于生物遗传工程、化学反应过程、人口动力学及其它一些问题中出现了含时滞变元的偏微分方程，因而偏泛函微分方程的振动性研究是近几十年来微分方程领域兴起的一个新的热点，并且受到人们的日益关注，取得了许多成果[1-35].

本文讨论如下的带有非线性扩散系数和连续偏差变元的中立型偶阶偏泛函微分方程

分别在边值条件

下解的振动性质，获得了其所有解振动的充分判据，结论充分表明了时滞量的决定性作用．其中n为偶数，Δu是RN中的Laplacian算子，Ω⊂RN是具有逐片光滑边界∂Ω的有界区域，R+=[0,∞),r∈C(∂Ω×R+,R+)，且ν是∂Ω的单位外法向量．

假设下列条件（H）成立:

引理1[36]设y(t)∈Cn([t0,∞),R)为常号，在[t0,∞)上y(n)(t)≠0且满足y(n)(t) y(t)≤0，则(i)存在ty≥t0使得y(i)(t)在[ty,∞)上常号，i=1,2,…,n-1.(ii)存在l∈{0,1,2,…,n-1}，n+l为奇数，使得

引理2[37]设y(t)满足引理1的条件，且则对每一θ∈(0,1),存在常数M＞0，使得

2 主要结果

则边值问题（1）、（2）的所有解在G上振动．

证明假设u(x,t)是问题（1）、（2）的一个非振动解,不失一般性，不妨设u(x,t)＞0，(x,t)∈Ω×[t0,+∞)(t0＞0)(u(x,t)＜0的情形，令uˉ(x,t)=-u(x,t)，可类似证明．由条件（H2），存在t1≥t0,使得当(x,t)∈Ω×[t1,+∞),有

将方程（1）两边在Ω上对x积分，有

由格林公式和边值条件（2）及（H3）得

其中dS是∂Ω上的面积元素.

又根据（H1）、（H3）有

令V(t)=∫Ωu(x,t)dx，显然，V(t)≥0,t≥t1，于是由式（2）～（5）可得

于是，由引理1，存在t2≥t1，使得

又由（9）式有

从而有

进而有

注意到式(10)、（11）和(H2)，由式(13)得

显然，W(t)＞0.注意到

于是由引理2，有

于是由式（14）、（15）式有

对上述的不等式从t2到t(≥t2)积分得

推论1若将式（4）换成微分不等式（9）无最终正解，则边界问题（1）、（2）的所有解在G上振动.

在定理1中，若φ(t)恒为正常数，则有

定理2若将定理1中的条件（1）替换为

则定理1的结果仍然成立.

引理3[38]设α0是下面Dirichlet特征值问题：φ(x)是与α0对应的特征函数，则α0＞0，φ(x)＞0，x∈Ω．

定理3设定理1的全部条件都成立，h(u)、hj(u)为常数（均设为1,j∈Im），则边界问题（1）、（3）的所有解在G上振动.

证明假设u(x,t)是问题（1）、（3）的一个非振动解，不失一般性，设u(x,t)＞0，(x,t)∈Ω×[t0,+∞)(t0＞0)(u(x,t)＜0的情形，令uˉ(x,t)=-u(x,t)，可类似证明．由条件（H2），存在t1≥t0,使得当(x,t)∈Ω×[t1,+∞)，有

将方程（1）两边同时乘以ϕ(x)后再对x在Ω上积分，有

由Green公式和边值条件（3）有

又由（H1）和（H2）有

令U(t)=∫Ωu(x,t)ϕ(x)dx，显然，U(t)＞0,t≥t1.

于是由公式（16）～（19）有

因此得

由（21）式有

从而有

进而有

注意到Y(t)＞0,Y′(t)＞0及（H2），由（24）式得

于是由（24）式和（25）式有

对上述的不等式从t2到t(≥t2)积分得

定理3得证．证毕．

由微分不等式（20）有

类似于定理1的证明，可得如下结果．

则边值问题（1）、（3）的所有解在G上振动.

注当n=2，q(t)=1时，方程（1）就是文献[4]所研究的方程，当n=2时，方程（1）就是文献[22]所研究的方程，当q(t)=1时，方程（1）就是文献[23]所研究的方程，因而本文的结论推广和包含了文献[4，22，23]的结果．

[1]LIN Shizhong，ZHOU Zhengxin，YU Yuanhong.Oscillation criteria for a class of Hyperbolic differential equations continu⁃ous distributed deviating arguments[J]．J.of Math．（PRC），2005，25（5）：521-526．

[2]MISHER D P．Necessary and sufficient conditions for oscillation of neutral type parabolic differential equations[J]．Comptes Kendus Acad.Bulg.Sci．，1991，44（3）：11－15．

[3]王培光，葛渭高．一类非线性偏泛函微分方程的强迫振动性[J]．系统科学与数学，2000，20（4）：454-461．

[4]罗李平．非线性中立双曲型偏泛函微分方程的振动性定理[J]．数学杂志，2010，30（6）:1023-1028．

[5]何猛省，高述春．双曲时滞偏微分方程解的振动性质[J]．科学通报，1992，37（13）：1163-1166

[6]林文贤．一类高阶中立型偏微分方程的振动性[J]．西南师范大学学报，1998，23（1）：25-30．

[7]林文贤．一类非线性中立型双曲方程的强迫振动性[J]．韩山师范学院学报，2002，23（2）：11-18．

[8]林文贤．高阶非线性中立型偏微分方程的振动性[J]．生物数学学报，2003，18（1）：8-14．

[9]林文贤．一类高阶中立型偏泛函微分方程的振动性[J]．黑龙江大学自然科学学报，2006，23（4）：449-456．

[10]林文贤．一类二阶中立型偏泛函微分方程的振动性[J]．数学的实践与认识，2007，37（20）：192-195．

[11]林文贤．一类具连续偏差变元二阶中立型偏泛函微分方程的振动性[J]．韩山师范学院学报，2007，28（3）：8-10．

[12]林文贤，关于一类偶数阶中立型偏泛函微分方程的振动性的注记[J]．数学的实践与认识，2008，38（20）：239-242．

[13]林文贤．一类中立型双曲微分方程的振动性定理[J]．应用数学，2009，22（3）：514-519．

[14]林文贤．具连续偏差变元的非线性中立双曲型偏泛函微分方程的振动性[J]．韩山师范学院学报，2011，32（3）：8-12．

[15]林文贤．一类非线性中立双曲型偏泛函微分方程的振动性[J]．安徽大学学报：自然科学版，2011，35（3）：9-13

[16]林文贤，一类具分布式偏差变元中立双曲型偏泛函微分方程的振动性[J]．南京师大学报：自然科学版，2011，34（4）：13-16．

[17]LIN Wenxian.Oscillation theorems for certain higher order neutral equations with continuous distributed deviating arguments[J]．Southeast Asian Bulletin of Mathematics，2012，34（4）：849-854．

[18]林文贤，一类具连续偏差变元的非线性中立双曲型偏泛函微分方程的振动性[J]．昆明理工大学学报：自然科学版，2012，37（1）：90-94．

[19]林文贤．一类具有扩散系数和连续偏差变元的中立型偶阶偏泛函微分方程的振动性[J]．中国科学院研究生院学报，2012，29（6）：738-742．

[20]林文贤，谢敏华．一类具分布式中立项的双曲型偏泛函微分方程的振动性[J]．滨州学院学报，2012，28（3）：13-17．

[21]林文贤，一类具分布时滞的中立型双曲方程的振动性[J]．安徽大学学报：自然科学版，2013，37（6）：8-12．

[22]林文贤．关于一类非线性中立双曲型偏泛函微分方程的振动性的注记[J]．韩山师范学院学报，2013，34（3）：7-11．

[23]林文贤．具非线性扩散系数的偶数阶中立型偏泛函微分方程的振动性[J]．井冈山大学学报：自然科学版，2014，35（4）:18-22

[24]林文贤．一类三阶中立型阻尼方程的Philos型振动定理[J]．宁夏大学学报：自然科学版，2014，35（2）:1-4．

[25]林文贤．一类带强迫项的二阶阻尼微分方程的区间振动性[J]．郑州大学学报：理科版，2014，46（2）:1-5．

[26]林文贤，俞元洪．高阶中立型时滞微分方程的振动准则[J]．应用数学学报，2014，37（6）：1018-1024．

[27]林文贤．振动性和周期解理论的研究[M]．北京：国防工业出版社，2014．

[28]林文贤．具分布式偏差变元和阻尼项的中立型双曲方程的振动性[J]．西南师范大学学报：自然科学版，2015，40（3）：1-4．

[29]林文贤．一类偶阶中立型泛函微分方程的振动性[J]．宁夏大学学报：自然科学版，2016，37（2）:131-134．

[30]林文贤．一类具阻尼项的三阶非线性中立型泛函微分方程的振动性[J]．中山大学学报：自然科学版，2016，55（6）：28-32．

[31]林文贤．一类具阻尼项的三阶半线性中立型泛函微分方程的Philos型振动结果[J]．安徽大学学报：自然科学版，2016，40（5）:1-5．

[32]林文贤．一类具阻尼项和多时滞的广义Emder-Fowler中立型微分方程的振动性[J]．东北师大学报：自然科学版，2016，48（3）:25-29．

[33]林文贤．偶阶中立型多时滞泛函微分不等式最终正解的不存在性[J]．韩山师范学院学报，2016，37（3）：1-7．

[34]LIN Wenxian．Oscillation of Certain Nonlinear Neutral Hyperbolic Partial Functional Differential Equations with Continu⁃ous Deviating Arguments[C]//Proceedings of the 28th Chinese Control and Decision Conference.Shen yang:Northeastern Uni⁃versity Publishing house,2016:6694-6698.

[35]LIN Wenxian.Interval oscillation theorems for certain second order neutral differential equations with continuous deviating arguments[J]．Southeast Asian Bulletin of Mathematics，2016，40（3）:381-387．

[36]AGARWAL RP，GRACE SR，D O’Regan．Oscillation Theory for Differential Equations[M]．Netherland Kluwer Aca⁃demic，Dordrecht，2000．

[37]PHILOS Ch G，A new criterion for the oscillation and asymptotic behavior of delay differential equations[J]．Bull.Acad.Pol.Sci.Ser.Sci.Mat．，1981，39（1）：61-64．

[38]VLADINIROV V S.Equations of Mathematical Physics[M]．Moscow：Nauka，1981．

Further Oscillation Results for a Class of Even Order Neutral Partial Differential Equations with Continuous Deviating Arguments

LIN Wen-xian
（College of Mathematics and Statistics,Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong,521041）

In this paper,the oscillation of a class of nonlinear even order neutral partial differential equations with nonlinear diffusion coefficients and continuous deviating arguments are studied.By employing the generalized Riccati transformation and the technique of differential inequalities,some new sufficient conditions for oscillation of all solutions of such equations are obtained under Robin and Dirichlet boundary value conditions.The results generalize some of the last results.

oscillation；even order；partial differential equation；neutral

O 175.1

A

1007-6883（2017）03-0001-07

责任编辑朱本华周春娟

2017-02-27

广东省高等教育教学改革项目（项目编号：GDJG20142396）；广东省高等学校特色创新项目（项目编号：2014GXJK125）．

林文贤（1966-），男，广东潮州人，韩山师范学院数学与统计学院教授.