浅谈“设而不求”的解题思考

钟顶伟

“设而不求”是数学解题中的一种有效手段，在计算繁杂、或数量关系不明，而致使思路受阻时，采用“设而不求”的策略，能避免盲目推演而造成无益的循环运算、时间资源的流失。采用“设而不求”这一策略，往往能化繁为简，优化过程，从而达到准确、明快、简捷的解题效果。以下列举几例，以供借鉴与参巧。

一、“设而不求”，结果自显

在解题中，巧设一些末知数字母来参与题中的已知条件的推算。使运算互相抵消，因而结果直现，使问题化难为简。

例1：计算（1+ + +……+ ）×（ + +……+ ）—（1+ + +……+ ）×（ + +……+ ）

分析与解答：此题若通分计算，实为无法办到。若用字母代替，则十分简单。

设 + +……+ =A + +……+ =B

则原式=（1+A）×B—（1+B）×A

=B+AB—A-AB

=B-A

=

例2：甲、乙两人进行百米赛跑，当甲到达终点时，乙在甲后面 20 米处，如果两人各自的速度不变，要使甲、乙两人同时到达终点，甲的起跑线应比原起跑线后移多少米？

分析与解答：此题只告诉了路程总量，无论是先求速度还是求时间都很难办到，如果用字母代替时间，解答易如反掌。

假设甲跑完100 米要用a 秒，则甲的速度为 ，乙的速度为 = 。

现在要使使甲、乙两人同时到达终点，则乙要跑的路程为 100米，他所用的时间为 100 ÷ = ，也是甲跑的时间。所以甲要跑的路程为： × =125（米）。

故起跑线应比原来起跑线后移125—100=25（米）。

二、“设而不求”在分数中有末知数的问题

例3：要使 为可约分的分数，则自然数n的最小值是多少？

分析与解答：此题若用列举法很难办到，不妨设分子、分母有公因数a，显然应有a>1，K为自然数。并且设：分子n-13=aK1

分母5n+6=aK2

由得n=aK1+13 ，将之代入得：5（13+aK1）+6=aK2

所以a（K2-5K1）=71

由于71是質数，且a>1，所以a=71。那么