线性算子定义的k一致近于凸函数类

李书海

（赤峰学院，内蒙古 赤峰 024000）

1 引言

用A表示单位圆盘U={z:|z|＜1}内解析且具有形式

的函数f(z)的全体.用A-表示A中子类且其元素满足条件

设 0≤β＜1,函数 f(z)∈A 属于一致凸函数 UK(k,β),当且仅当([1-2])

同样，函数f(z)∈A属于一致星象函数US(k,β)当且仅当([1-2])

显然 f(z)∈UK(k,β)当且仅当 zf'(z)∈US(k,β).

定义 A([3]) 函数f(z)∈A属于UC(k,γ,β),当且仅当

其中 g(z)∈US(k,β).

定义 B([3]) 函数f(z)∈A属于UQ(k,γ,β)当且仅当

其中 g(z)∈UK(k,β).

设 αj∈C(j=1,2,…,l),βj∈C-{0,-1,-2,…}(j=1,2,…,m),广义几何级数定义为

其中(a)n=a(a+1)…(a+n-1),n∈N={1,2,…}.

令 h(α1, …,αl;β1, …,βm;z)=zFl;m(α1, …,αl;β1, …,βm),则Dziok-Srivastava 算子([4-7]),Hlm(α1,…,αl;β1,…,βm)定义为

其中 øn(α1,…,αl;β1,…,βm):

且由[6]可知

利用（1.1）和结合(1.7),(1.8),(1.9)以及(1.10)式,我们有

其中

设函数f(z)属于A,作者AL-Oboudi在[8]中引进线性算子:

且

从(1.11)和(1.14),我们得到

显然 τ=0,ζ=1时得到文[4]中的 Dziok-Srivastava算子；ζ=0时得到F.M.Al-oboudi在文[8]中定的算子;ζ=1时得到文[9][10]中引进的算子.

定义 1.1 设函数 f(z)∈A 属于 US(τ,λ,ζ,k,β)当且仅当

定义 1.2 函数 f(z)∈A 属于 UC(τ,λ,ζ,k,γ,β)当且仅当

其中 g=US(τ,ζ,k,β).

令

本文中，我们首先证明属于函数类 UC(τ,λ,ζ,k,β)的充分条件，利用此条件给出函数类的极值点、积分表达式、偏差定理，并讨论半径问题.

2 主要结果

定理 2.1 设 tf(z)具有形式(1.1).设 k≥0,0≤β＜1,0≤γ＜1,λ≥0,τ∈N0和

则 f(z)∈UC(τ,λ,ζ,k,γ,β).

证明 由定义可知

上述界小于(1-λ)当且仅当

定理 2.2 设 f(z)∈A-,则 f属于 UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β)当且仅当

证明 设 f(z)∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β).因不等式 Reω＞k|ω-1|+γ

当且仅当 Re(ω(1+keiø)-keiø)＞γ.令则

上式等价于

再令z→1-时得到

由此推出

即

相反,设(2.1)式成立.要证明 f(z)∈UC-l,m(τ,λ,ζ,k,γ,β).因为

和

容易推出E-F＞0,即条件(2.1)式满足，证毕.

当f(z)=g(z)时得到

定理 2.3 设 g∈US-(τ,λ,ζ,k,β)则

其中 |Q(t)|＜1.同样

其中μ(x)是概率测度且x={x:|x|=1}.

证明 当k=0时显然成立.设k≠0，则g∈US-

l,m(k,β)和时,我们有其中 |Q(z)|＜1,由此推出

μ(x)是概率测度，此时

定理 2.4 设 g∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β)，则

其中μ(x)是概率测度X={x:|x|=1}.

定理 2.5 设 g∈US-(τ,λ,ζ,k,β)则

证明 因 g∈US-(τ,λ,ζ,k,β)，我们有

由此推出

和

同样得到

和

证毕.

定理 2.6 设 f∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β),则

证明 因 f∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β),利用定理 2.1,我们有

从而

结合

得到

同样

和

得到(2.9).证毕.

定理2.7 设gm(z)=z-∑∞n=2bj,mzj∈UC-(τ,λ,ζ,k,β),m=1,2,则

定理2.8 设fm(z)=z-∑∞n=2bj,mzj∈US-(τ,λ,ζ,k,γ,β),m=1,2,

则

证明 设 f1(z),f2(z)∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β),由定理 2.2,我们有

和

由定理 2.2 得到 f(z)∈UC-(τ,λ,ζ,k,γ,β).

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