引发思考，抓住生成
——关于“倍数和因数”的教学思考

◇孙春霞

最近听了两位年轻老师上的同一节课，颇有感触。

案例一：

（1）老师出示课前发给学生的数字卡片。

师：这些数都是整数，今天我们就来研究非0 的自然数。它们之间存在着一种关系，这就是今天我们要研究的因数和倍数。

（2）出示12 个杂乱摆放的小正方形。

师：请几名学生在黑板上展示摆法（如图1）。

图1

（依次让学生说出乘法算式：2×6=12、3×4=12、1×12=12。教师着重说明：3×4=12，3 和4 是12的因数，12 是3 的倍数，也是4 的倍数。接着让学生尝试说一说另外两个算式中谁是谁的倍数，谁是谁的因数）

（3）师：12 的因数有哪些？你能有序地说一说吗？

生：可以把上面的因数从小到大排一排，1、2、3、4、6、12。

生：可以一组一组地说，1、12、2、6、3、4。

师：2 是因数吗？

（全体学生说“是”）

教师追问：为什么是因数？

生：因为2×6=12，所以2 是因数。

（见学生都不能理解老师的用意，此时教师抢过来直接说：必须说谁是谁的因数）

师：在作业纸上找出36 的因数有哪些，并把你的方法写下来。

生：我用乘法想的，1×36=36，2×18=36，3×12=36，4×9=36，6×6=36。

生：我是用除法想的，36÷1=36，36÷2=18，36÷3=12，36÷4=9，36÷6=6。

师：用这样的方法，你能找出15、16 的因数吗？

（学生接着找。 电脑出示12、36、15、16 这几个数的因数，都是从小到大排列的，其中1 和本身都用彩色标注）

（4）师：观察这几个数的因数，它们有什么共同的特点?

［电脑出示提示：一个数的因数最小是（ ），最大是（ ），个数是（ ）。学生回答后教师总结板书：一个数的因数最小是1，最大是本身，因数的个数是有限的］

案例二：

（1）师：前两天是老师的生日（出示老师、老师的妈妈、老师的女儿的合影），这里有两个妈妈和两个孩子，为什么只有三个人呢？

（学生用自己的语言描述，全班有笑声）

师：说得很好，像绕口令噢。刚才说的是人与人之间的关系，其实在自然数中也存在这样的关系，今天我们就来学习数与数之间的关系——因数和倍数。

（2）电脑出示杂乱摆放的12 个边长为1 厘米的小正方形图。

Ⅰ类海风锋的7个例合成地面要素1 000 hPa场如图5a所示。由图5a可见,海风沿气压梯度自海上垂直于海岸线吹向内陆,由于海陆热力差异作用,海风锋温度密集带基本与海岸线平行,苏南沿海和苏北海州湾沿岸的温度锋区更显著,流场与锋面相交,海风驱动锋区向内陆推进;此外苏南有一个明显的气旋式环流,有利于此处锋区的加强和气流的辐合。等风速线显示,沿海最大的风速中心在苏中沿岸,大约5 m·s-1,海风登陆,地形摩擦效应,风速自海上向岸减弱,形成沿岸低层风速辐合区。在与江苏交界的安徽中部,有一个鞍形场,显示了多系统环流。

师：你能用12 个1 平方厘米的正方形摆成长方形吗？

师：是这样的吗？（电脑出示三种摆法，如图1）你能用乘法算式表示这样的摆法吗？

生：3×4=12、2×6=12、1×12=12。

师：别小看这三个简单的算式，它们包含着重要的信息。 以3×4=12 为例，3 和4 是12 的因数，12 是3 的倍数，也是4 的倍数。

师：你能像这样说说余下的这两个算式吗？

（学生尝试说）

师：看着2×6=12，你能想到除法算式吗？

生：12÷2=6。

师：看着这个除法算式，你还能说出因数或倍数吗？

师：能不能说6 是倍数，或者6 是因数呢？

生：不能，因数和倍数是对应的。

师：是的，倍数和因数是一种关系，所以要说清谁是谁的倍数，谁是谁的因数。这里我们研究的数一般指非0 的自然数。

（3）师：你能找出36 的所有因数吗？

（教师巡视找出几个有代表性的想法，投影展示）

生1：1×36=36、2×18=36、3×12=36、4×9=36、6×6=36。

（和该生交流）

师：为什么你写1×36=36 呀？

生1：因为要想出36 的因数有哪些，只要想几乘几等于36 就行了。

师：是的。［板书（ ）×（ ）=36］

生2：36÷1=36、36÷2=18、36÷3=12、36÷4=9、36÷6=6。

师：你是怎样想的？

生2：我从1 开始想……5 除不尽，用6 除又可以了。

师：这样想有什么好处？

生2：很有顺序。

生3：6—6、4—9、3—12、1—36、0.5—72、0.25—144、0.2—180、0.1—360。

师：你能看懂吗？

生4：他是一组一组想的，也是想几和几相乘等于36。

师：对于这样的想法，你有什么看法？

生4：我觉得他想得更多。

生5：我觉得我们不应该想小数。

生6：我觉得要是考虑小数的话，是写不完的，还会有0.02—1800 等。

师：是的，我们今天研究的数都是非0 的自然数。

（4）师：用刚才的方法完成课本第31 页上的“试一试”。

（指名汇报，强调不重复，不遗漏。然后，出示36、15 和16 所有的因数）

师：你有什么特别的发现吗？

生：都有1 和原数。

生：单数的因数都是单数。

……

师：一个数的因数最小是谁？最大是谁？能不能全部写完呢？

（学生发现：一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，因数的个数是有限的）

思考：

1.课始导入——点明主旨，激发兴趣。

以前我们主要研究一个数的本身，“倍数和因数”研究的不是一个数，它必须依存于另一个数而存在，表示的是两个数之间的一种关系。

为了让学生有这样的一个认知，在新课导入阶段，案例一中的老师上来就出示数字卡片（上面写有自然数），直接跟学生交代要研究“非0 的自然数”，并说它们之间存在一种关系。此时，学生是不太能感受到这种关系的。而案例二中的老师用一张老师和家人共庆生日的照片，一上来就吸引了学生的注意力，此时教师说：“这里有两个妈妈和两个孩子，为什么只有三个人呢？”一下子就激发了学生的探究欲望和学习的兴趣。这样的导入，来源于现实生活，不但比卡片更吸引学生，而且更重要的是它为学生理解关系做好了感性的支撑，明白了这节课的主旨就是研究数与数之间的关系。

2.素材运用——把握学情，突出重点。

两位老师在教学例题时都用了“用12 个小正方形拼成长方形”这一素材，但处理方式大相径庭。案例一中，老师是让学生先自己拼搭，再请3 人上黑板依次展示，最后电脑呈现这几种拼摆，学生说出相应的乘法算式，此时这节课已经过去13 分钟。而在案例二中，教师只用了短短的1 分钟，乘法算式和几种摆法就已经呈现出来，紧接着就进入因数和倍数的探讨。

对于五年级孩子来说，他们在以往的学习中已经有多次这样的拼摆经验，摆这样几个长方形应该是很轻松的，因此完全可以在脑子里想象出摆法，然后很快出现算式，甚至有的孩子就是用乘法算式来思考不同的摆法，因此，没有必要让学生实际操作和上台展示。看来对学情的准确分析和预测是教学成功的重要因素。两位老师的教学侧重点也不同。教学中，使用这一素材的最终目的是出现3个乘积是12 的算式，为后面教学因数和倍数提供支撑，因此教师不应把拼摆的过程和方法作为重点，而应该把得出3 个算式作为目的，并尽可能为后面节省时间，突出因数和倍数这一教学重点。

由此看来，对于教学素材的处理要分清重点，为我所用，不能用一些琐碎的简单任务挤占学生宝贵的探索新知的时间。

3.教学难点——想好对策，引发思考。

本节课的教学难点之一是理解因数和倍数是两个非0 自然数之间的一种关系，它们是相互依存的。案例一中，老师对此显然没有充分预设，在处理这一难点时，很唐突地问：“2 是因数吗？”（全体学生说“是”）迫于无奈下追问：“为什么是因数？”学生不明白老师的用意是什么，被逼着又回到2×6=12 这个算式中，努力地用老师刚才教的模式解释。教师见学生都不理解，只好抢过来直接说：“必须说谁是谁的因数。” 这样的教学何其生硬？老师浪费了大量的时间和口舌，却没有达到应有的效果，学生也被引向歧路。而案例二中，老师对学生的困惑和理解上的盲点作了充分的预设，出示12÷2=6 和6÷2=3 这两个算式，并把这两个6 都标注成红色，以凸显出来。在学生说出两个算式中因数和倍数关系后，问：“为什么6 一会儿是倍数，一会儿是因数呢？”学生自然结合上面两个算式中6 的身份开始解释。此时教师追问：“能不能说6 是倍数，或者6 是因数呢？”学生对因数和倍数之间的依存关系就有了直观的感受，注意力很快集中到数与数之间的关系上，教师再根据学生的认识加以点拨，难点迎刃而解。

4.学法指导——精心预设，捕捉生成。

本节课，找因数的方法是教学重点，具体怎么找？学生有什么困惑？教学中，两位老师都把探索的主动权交给了学生，在学生汇报的过程中，引出可以用乘法或除法来想，重点提出有序思考、成对出现这两个关键点。但是案例二中，老师通过让学生说，更注重展现学生具体的思维过程，把找因数的具体方法全面而清晰地呈现出来，帮助各层次的学生理清了思路。再者，老师充分预设了学生会存有的疑问，或者说理解上的盲区，在巡视的时候，有意识地找一些有代表性的错误进行讨论，帮助学生提高认识。例如，在找36的因数时，有的学生认为只要乘积是36 就可以了，于是写出像0.5—72、0.25—144、0.2—180 这样的关系，教师故意找出这样有代表性的想法，引导学生讨论，从而得出：我们研究的两个数必须是非0 的自然数，0.5 等小数不是自然数。

综上所述，一节成功的课，要在充分了解学生的基础上，设置一些有趣的生活情境，引导学生直抵问题的核心，设置好解决疑难的策略，并在学生自主探究的基础之上，展示学生原始的思路历程，关注有价值的课堂生成，让学生真正有所思、有所悟，进而有所得。