两个有界线性算子和的Drazin逆

杜 娟,王 华

(内蒙古工业大学理学院,内蒙古呼和浩特 010021)

1 引言与预备知识

广义逆理论是非常重要的研究领域之一,它在求解奇异微分和差分方程、算子方程、马尔可夫链、迭代法数值分析等方面都有着非常广泛的应用.特别在求解微分方程组时,矩阵的广义逆发挥着重要作用,例如给定一类一阶奇异系统方程

其中A为奇异矩阵.其通解可表示为

其中 A1=(λA+B)−1A,B1=(λA+B)−1B[1].

20世纪以来,学者们对广义逆理论中的矩阵的Drazin逆的研究最为活跃.1958年,Drazin[2]在半群与结合环上引入Drazin逆,并在两个矩阵P和Q满足PQ=QP=0的条件下,证明出了(P+Q)D=PD+QD.对于算子情形,2009年,Castro-Gonz´alez[3]等在P2Q=PQ2=0条件下讨论了P+Q的Drazin可逆性,并给出了(P+Q)D的表达式;同年,邓春源[4]在P,Q均为幂等算子,且满足三个不同条件PQP=0,PQP=PQ,PQP=P时给出了(P+Q)D的表达式;2011年,Cvetkovi´c[5]等在PQP=0,Q2P=0的条件下,给出了(P+Q)D的表达式;2014年,黄俊杰[6]等在P2Q+PQ2=0,P3Q=PQ3=0的条件下给出了(P+Q)D的表达式.对于P,Q为矩阵情形，学者魏益民[7]、Hartwig[8]、卜长江[9]、刘喜富[10]等获得了很多好的结果.

为便于叙述,文中通篇采用如下的假设及符号.设X,Y是复Banach空间,记B(X,Y)是从X到Y的所有有界线性算子的集合;B(X)是从X到X的所有有界线性算子的集合;对于A∈B(X,Y),ρ(A),σ(A),r(A)分别表示其预解集,谱集,谱半径;R(λ,A)表示算子A的预解式 (λI − A)−1.

下面给出本文用到的定义和引理.

定义1.1设A∈B(X),若存在AD∈B(X),使得算子方程组

对某个非负整数k成立,则称A是Drazin可逆的.对于上述方程组,若有解,则解必定唯一,这个唯一的解AD称为A的Drazin逆,并称使得方程组成立的最小非负整数k为A的指标,记为ind(A).当ind(A)=0时,A是可逆的,即AD=A−1.

引理1.2[11]设A∈B(X,Y),B∈B(Y,X),如果BA为Drazin可逆,那么AB也为Drazin可逆……