分数布朗随机流

肖艳萍,郭精军

(1.西北民族大学数学与计算机科学学院,甘肃兰州 730000)

(2.兰州财经大学统计学院,甘肃兰州 730020)

1 引言

近些年,分数布朗运动因具有自相似性、长相依性等特点被广泛地应用于金融、通信等领域,已成为随机分析及其相关领域研究的热点问题之一.但是,当Hurst参数时,分数布朗运动既不是半鞅,也不是马尔科夫过程.于是,随机分析中一些经典的方法就不能直接拿来处理分数布朗运动相关问题了.

流概念源于几何测度理论.最简单的形式为如下泛函

基于文献[6,8],本文利用白噪声分析方法研究Wick积分意义下的分数布朗随机流.行文安排如下:在第2部分中主要介绍分数布朗运动和白噪声分析框架的一些基本事实;在第3部分,先给出Wick型分数布朗随机流的定义,其次借助于解析刻画定理证明分数布朗随机流在白噪声分析框架下是一个广义泛函.

2 预备知识

该部分主要介绍分数布朗运动、白噪声分析框架及一些相关结果,详细内容见文献[2,7–8].

定义2.1[1−2]如果{BH(t)}t∈R是一个中心高斯过程且有

称随机过程{BH(t)}t∈R为分数布朗运动.

为了获得BH(t)的表示形式,需要利用分数积分算子和微分算子,α∈(0,1).如果定义

如果定义

定义2.2[1−2]假设0＜H＜1,算子MH±定义为

则分数布朗运动有连续版本

第一组Gelfand三元组为S(R)⊂ L2(R,Rd)⊂ S∗(R),其中S(R)和S∗(R)分别为Schwartz向量值检验泛函空间和缓增函数空间.

设(L2)≡L2(S∗(R),dµ)为S∗(R)上关于µ平方可积泛函所构成的希尔伯特空间.则由Wiener-Itô-Segal同构定理知,对每个f∈(L2)有以下混沌表示

设Γ(A)是A的二次量子化算子,其中……