半张量积下矩阵方程组AX=B,XC=D的最小二乘解

李 涛,周学林,李姣芬

(1.桂林电子科技大学数学与计算科学学院广西高校数据分析与计算重点实验室,广西桂林 541004)

(2.桂林电子科技大学教务处,广西桂林 541004)

1 引言

本文中所用记号Rm×n表示所有实数域上m×n阶矩阵的集合;Ik为k阶单位矩阵.对M ∈Rm×n,MT和M†分别表示转置和Moore-Penrose广义逆.对矩阵M,N ∈Rm×n,内积定义为〈M,N〉=trace(MTN),由此导出的矩阵范数为Frobenius范数,记为‖·‖.lcm{m,n}和gcd{m,n}分别表示正整数m,n的最小公倍数和最大公约数.对M=[aij],N=[bij]∈Rm×n,M⊗N 表示矩阵M 和N 的Kronecker积[1]

M⊙N表示矩阵M与N的Hadamard积[1]

对M=[aij]∈Rm×n,矩阵的列拉直算子Vc(·)和行拉直算子Vr(·)分别表示为

定义1[2]给定矩阵A∈Rm×n,B∈Rh×k,记t=lcm{n,h}为n,h的最小公倍数,矩阵A和B的半张量积可表示为

半张量积最初由程代展教授提出用以解决多线性函数的矩阵表示问题[3],随后不仅应用在高维数据的排列以及电力系统非线性鲁棒稳定控制代数化等问题[4],而且为布尔网络[5],密码学[6],图染色[7],模糊控制[8]等领域中的问题研究提供了一种新的研究工具.而这些问题的解决在某些情况下可归结为半张量积下线性方程或矩阵方程的求解问题.如在网络非合作化问题中[9],设有m个玩家,记M={1,2,···,m},玩家j的策略集是N={1,···,nj},j=1,2,···,m.现假定玩家 j 的混合策略是

则所求的Nash 均衡点即等价于求解下列半张量积下的矩阵方程

其中Φ已知.对于此类问题,姚娟等[10]将其归结为半张量积下矩阵方程AX=B求解问题,并细致研究了半张量积下方程该有解的充要条件及具体解析表达式,同时在其博士论文中讨论了半张量积下矩阵方程AX=B的最小二乘解.在实际应用中,如布尔网……