研读中考试题·培养数学素养·提升解题能力
——2017年天津市中考第24题的解题研究与反思

（天津市滨海新区塘沽第六中学；天津市教育教学研究室；天津市滨海新区塘沽教育中心）

让学生在实践中反思，在反思中体验，在体验中感悟，在感悟中提升，这是数学教学的本真，也是笔者研读2017年天津市中考试卷第24题的切身感受.

一、试题呈现

题目将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点点B(0，1)，点O(0，0).P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A′.

（1）如图1（1），当点A′在第一象限，且满足A′B⊥OB时，求点A′的坐标.

（2）如图1（2），当P为AB中点时，求A′B的长.

（3）当∠BPA′=30°时，求点P的坐标（直接写出结果即可）.

图1

二、试题特色

此题是坐标系下的图形翻折变换，运用图形与坐标、图形与函数、图形与变换等知识，体现知识与能力并用、思想与方法交融的命题特点，也符合“起点低，坡度缓，尾巴翘，宽进严出”的命题要求.此题重点考查了学生的几何推理能力，思维层次逐步提升，“几何味”逐步显现，梯度合理，区分度较高.逻辑推理是学生发展所需要的重要核心素养之一，本着“核心内容重点考查”的命题指导思想，命题者在这方面有所侧重，突出对学生的数学思想方法、画图能力、计算能力、知识应用能力等数学素养的考查.

三、解法探究

解析：（1）由翻折的性质，得△OPA′≌△OPA.从而得

又由A′B⊥OB，根据勾股定理，可以求出BA′的长，从而得到点A′的坐标.

（2）（方法1）由已知，可得∠BAO=30°，∠OBA=60°，AB=2.

因为P为AB中点，∠AOB=90°，

所以OP=PB=AP=1.

所以△BOP为等边三角形.

所以∠BOP=60°，且∠POA=∠PAO=30°.

由翻折的性质，得△OPA′≌△OPA.

得∠OPA′=∠OPA=120°，且AP=A′P.

从而得∠BOP+∠OPA′=180°.

因此OB∥A′P.

因为OB=A′P=1.

所以四边形OPA′B是平行四边形，此时A′B=1.

或者由OB=OP，得四边形OPA′B是菱形……