读《篱笆怎么围面积最大》的思考

（湖北省孝感市文昌中学）

问题有一堵长为12m的墙，利用这堵墙和长为60m的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大？最大面积是多少？

这是由人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册（以下统称“教材”）的内容演变而来的一道题.祝立新老师在2017年《中国数学教育》（初中版）第3期《篱笆怎么围面积最大》一文中，从四个不同的位置情形入手，进行了非常详尽的讨论分析，并且做了引申和拓展，读后很受启发.笔者在受益匪浅之余，也进行了一些思考.

思考1：问题中“利用这堵墙”的含义，整体上看可分为“一边靠墙”和“一边包含墙”两种情形.至于教材中的图4，通过平移矩形，完全可以转化为前面的两种情形之一.下面，我们分两种情况讨论如下.

（1）若一边靠墙，如图1，同祝老师的分析，得到当AB=12m，养鸡场面积最大为288m2；

图1

（2）若一边包含着墙，如图2所示.从整体上看，墙可以看成是边DC上运动的“线段”，边长与墙长的差即为矩形这一边所用的篱笆长.

图2

设AB=xm，

则AD+x+BC+(x-12)=60.

所以AD=BC=(36-x) m.

所以S矩形ABCD=x(36-x)=-(x-18)2+324.

因为-1＜0，

所以当x=18时，S矩形ABCD有最大值324.

综上归纳，可得当矩形的长和宽都是18m时，养鸡场面积最大，最大面积是324 m2.

思考2：上述结论中，养鸡场面积最大时，所建矩形的“一边包含墙”，并且其形状正好是一个正方形.联想到“周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大”，于是闪现出一个整体思想新解法.

解：把这堵墙看成一段特殊的篱笆，

则共有篱笆72m.

设这些篱笆围成的矩形的一边长为xm，

则矩形的另一边长为(36-x) m.

所以S矩形ABCD=x(36-x)=-(x-18)2+324.

因为-1＜0，

所以……