浅谈如何有效进行“分数乘除法解决问题”的教学

严赛华

在小学数学教学中，分数乘除法解决问题归纳起来可以分为两类：①求一个数的几分之几是多少；②已知一个数的几分之几是多少，求这个数。但在具体解题过程中又有多种变化，学生（尤其是成绩处于中下游水平的学生）很难把分数乘除法解决问题的数量关系与生活实际联系起来，理解就比较抽象，教学常常陷入“教者无趣，听者乏味”的困境。那么，教师应如何走出困境？

一、帮助学生找准单位“1”的量

进行分数乘除法解决问题的教学，关键是抓住题目中的关键词句，根据具体的情境确定“谁”是标准量。如男生人数是40人的 ，女生人数的 是40人，男生和女生分别是多少人？引导学生思考：两个“ ”分别是把“谁”平均分成了5份？不难看出“40人的 ”是把“40人”平均分成了“5份”，标准量是“40人”；“女生人数的 ”是把“女生人数”平均分成了“5份”，“40人”是占其中的“4份”，标准量是“女生人数”。又如“水结成冰，体积增加 ”和“冰化成水，体积减少 ”教师在教学时要引导学生明确以“原来的量”为单位“1”。学生通过对比得出：前者是先有水再有冰，体积增加的部分占“水”的 ，是以“水”为标准量；在“冰化成水，体积减少 ”中，是先有冰再有水，减少的部分是占“冰”的 ，是以“冰”为标准量。

二、有效运用画图策略，帮助学生找出数量关系

分数乘除法解决问题中的数量关系比较复杂，教材或教辅中所提供的现实素材变化多样，在问题的表述上经常使用“鸭的孵化期比鸡长几分之几”“普通列车比它慢几分之几”等形式。因此，教师可以引导学生通过画线段图直观地理解题意，找出题中内在的数量关系。

习题1：自来水厂计划投资改造自来水管道，经优化设计方案，实际比计划节约了 ，实际投资300万元，计划投资多少万元？教师引导学生画出线段图，边画边思考以下几个问题：①先画哪个量？为什么？（因为计划投资的金额是标准量，要先画出表示计划投资额的线段）。②表示实际投资的金额怎么画？（将表示计划投资金额的线段平均分成3份，表示实际投资金额的线段占这样的2份），把条件和问题简单明了地在图上标注出来（图1），学生就能根据线段图清晰看出本题的数量关系是：计划投资金额-计划投资金额× =实际投资金额，计划投资金额×（1- ）=实际投资金额。

习题2：乙数比甲数少 ，那么甲数比乙数多几分之几？

很多学生看到该题极容易出现数量关系认知混乱。此时，教师可以引导学生根据习题中前半句的题意画出简单线段图（图2），再根据线段图判断“甲数比乙数多几分之几”就容易多了。

习题3：汽车队要运输一批水泥，第一次运走了全部的 ，第二次运走了全部的 还多4吨，剩下21吨，这批水泥一共有多少吨？

教学中，教师引导学生画出线段图，先把这堆煤平均分成3份，分别表示出第一次和第二次运走的，以及剩下的（图3）。再引导学生根据线段图找出数量关系“煤的总吨数-总吨数的 ×2=4吨+21吨”，或找出4吨和21吨之和所相对应的分率“1- - ”，解题就显得容易多了。教师要教给学生画图的方法，明确“部分量与总量之间的关系，用一条线段表示；两个数量之间的关系，用两条线段表示”。

三、纵横沟通，使学生深刻理解分数实际问题中的数量关系

学生掌握分数乘法解决问题的有效途径是及时进行有效的对比练习，要对比问题的内容、叙述方式、解题方法之间的异同点，教师引导学生抓住知识间的联系，深入反思，丰富他们的知识结构，从而发展数学思维，培养学生良好的学习习惯。

1. 要区别分数不同的意义：表示具体的量和两个数的倍比关系。

习题4：

（1）甲筐有30千克苹果，卖出 ，还剩多少千克？

（2）甲筐有30千克苹果，卖出 千克，还剩多少千克？

在练习中，学生经常分不清列式是“30- ”还是“30-30× ”。出现这种现象的原因是因为学生还没有理解分数表示的两种意义。笔者是这样引导学生的：第一题的“卖出 ”是把30千克平均分成5份，卖出的部分占其中的2份，这个“ ”是“分率”不带单位，是表示“卖出的部分”和“30千克”之间的关系，要先求出卖出的具体千克数，再把30千克减去卖出的千克数，列式为“30-30× ”；也可以这样想，“把30千克平均分成5份，卖出2份，剩下3份，也就是剩下的部分占30千克的 ，列式为“30×（1- ）”。而第二题中的“ 千克”带单位，是卖出苹果的千克数，是具体的数量，直接列式为“30- ”。笔者要求学生今后遇到类似题目，要先判断题目中的分数是表示“具体的量”还是表示“分率”，再动手解题。

2. 两道题中的已知具体数量相同，但数量所对应的分率不同。

习题5：

（1）一台彩电降价 后比原价少600元，这种彩电原价是多少元？

（2）一台彩电降价 后售价是600元，这种彩电原价是多少元？

笔者一出示这两道题目，学生中出现不同的反应。笔者让学生先思考，想一想“哪里一样，哪里不一样”后就有了以下对话。生 ：“两题都是说实际售价比原价少了原价的 ，都是以原价为标准量。”生 ：题（1）中的600元就是实际售价比原价少的部分，这里的600元所对应的分率是 ，即原价的 是600元。”生 ：题（2）中的600元是指实际售价比原价少了原价的 后剩下的钱数，600元应该是占了原价的 ，也就是说已知原价的 是600元。”笔者：“看来，解决分数乘除法实际问题时，找出具体量的“对应分率”至关重要。”

3. 让学生补充不同的条件和问题，列出不同的乘除法算式。

习题6：

（1）五年级有学生120人， ，六年级有学生多少人？

（2）一段公路长900米，甲队修了25%，乙队修了28%， ？

通过这部分的练习，加强学生进一步掌握“求一个数的几分之几是多少”和“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”两类解决问题之间的区别和联系。

教师在教学中引导学生进行问题的纵横沟通，学生养成主动对比的学习习惯，在对比中感悟信息，排除情境因素干扰；减少解题策略的思维定势，培养学生的批判性思维，养成主动反思的学习习惯，这些对学生来说比获得知识更为重要。

总之，教学有法，但无定法。教师在分数乘除法解决问題的教学中，应调动学生的学习积极性，设计合理的教学方法和过程，使教学变得生动有趣，与此同时，提高学生的观察、操作、分析和推理能力，使我们的教学更有成效。

（作者单位：福建省闽侯县荆溪中心小学 责任编辑：王彬）