大胆猜想 小心求证—浅析归纳推理在小学数学教学中的影响

马志沁

（江苏省南通市实验小学，江苏南通 226000）

引 言

著有《数学与猜想》的波利亚说：“先猜后证，这是大多数的发现之道[1]。”他在著作中讨论了一种围绕猜想而展开的推理方法——归纳推理。对于这样的推理方法，小学数学教材中没有明确地给出定义。但在不同版本的教材、不同的领域中都涉及了丰富的归纳推理的教学内容，以促进小学生数学思维能力的整体进步。

一、归纳推理的地位与作用

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式[2]。它作为《义务教育数学课程课标(2011版)》中的十个核心概念之一，经常被引用到专著、论文和课堂教学中。可以说，学习数学就是学习推理。对于推理，一般分为演绎推理和合情推理两大类。本文所讨论的归纳推理是一种用途非常广泛的特殊合情推理。归纳推理所处的位置如图1所示。

那么，归纳推理到底是一种怎样的推理过程呢？它是以个别（或特殊）的知识为前提，推出一般性知识为结论的推理。它的思维进程是从特殊到一般。例如，在《等式的性质》一课中，就是从多个具体的等式所反映的共同特点推出一般性结论的，从而做出归纳：等式的两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式；等式的两边同时乘以或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。小学生受到认知水平和知识体系不完善的限制，让他们由理论到理论做出严格的证明是不现实的。在这样的背景下，归纳推理成了必然的选择，从部分到整体，从特殊到一般，从具体到抽象。由此可见，小学生通过归纳推理形成数学概念，构建起了基础的知识体系，并利用其在生活中解决实际问题。

图1 归纳推理所处的位置

二、归纳推理的培养与发展

归纳推理的基本步骤如下：举例—观察—猜想—验证。教师要引导学生经历数学活动，在提取生活经验的基础上，合乎情理地举例子。再在细致观察的基础上，大胆提出猜想。然后开展头脑风暴，多角度、多层面地进行验证，最终得出结论。例如，南通王海峰教师执教《和的奇偶性》一课时提出：两个自然数相加的和是奇数还是偶数，与什么有关？学生借助之前学习所积累的经验，很轻松地提出自己的猜想，并以一些加法算式为例，验证了自己的猜想。这一探索规律的教学，是典型的归纳推理的应用[3]。

教师在教学中一定要重视引导并鼓励学生清晰地表达自己的推理过程。学生在表达中循序渐进地提升数学素养。例如，要经常追问：“你是怎样想的？为什么是这样的？其他人能说得更清楚一些吗？还有其他想法吗？”有些人把数学看得很神秘，学不好数学，其症结就在于思维的混沌不清[4]。

我认为归纳推理的核心在于猜想。学生只有通过操作、举例、图画、计算、观察等提出自己的猜想，才能进一步地进行展开和验证。例如，在教学《三角形的三边关系》一课中，教师首先给出三角形两条边的长度，然后提问第三条边可以是多长？学生开始操作剪线段、拼、摆，获得初步的经验。接着，教师让学生思考：“三条边什么时候能围成三角形？什么时候又不能围成三角形？”学生提出猜想，又验证猜想，在充分的交流中表达自己的推理，最终获得结论。可以说，整节课都是围绕着“猜想”这一环节展开的。

另外，教师对学生的推理要进行发展性的评价，这样有利于提高学生的推理能力。教师恰当的评价具有导向、激励、调节、检查、甄别、筛选等功能。在教师评价学生推理过程的基础上，又能引起学生及学生之间对推理过程的自我评价，及时提升自己的推理水平。例如，王海峰教师的评价：“及时发现，及时总结，而且有理有据，很棒！还有吗？”再如，“这个猜测很大胆，能说说你的理由吗？”通过有效的评价，可以让学生放下戒备，增强自信，专注于归纳推理的思维进程中。

三、归纳推理的局限与弥补

至此，归纳推理在小学数学教学中的重要性已经是不言而喻的。但是，运用这种推理方法并不一定能获得真理。举个通俗的例子：“判断所有的天鹅都是白的。”要得出这样的结论，按照归纳推理的模式是这样的：首先举例我们所能看到的白天鹅；然后提出猜想，即所有的天鹅都是白的；再想办法举出更多的例子去验证是否正确，暂时得出结论“所有的天鹅都是白的”；直到某一天某一个人发现原来天鹅还有黑色的后，就推翻了之前的结论。著名的“哥德巴赫猜想”通过举例验证是完全可行的，但是却无法在理论上加以证明，目前是陈景润通过改进方法获得了巨大的突破。

这时候归纳推理的局限性就显现了。那么该怎么办呢？还记得上面的思维导图吗？对，就是用演绎推理来证明猜想的正确与否。演绎推理是从已经证明的事实出发，按照逻辑思考得到某个具体的结论。它的思维进程是从一般到特殊。例如，南通顾娟教师在执教《和的奇偶性》一课中，学生提出猜想“偶数＋偶数＝偶数”。顾娟教师让学生举例验证，问：“这样的例子举得完吗？万一有一个不符合规律的呢？想一想，还有没有其他的办法可以验证？”学生在经过理性分析后，探究出了这一规律背后的原因。有的学生用数形结合的办法，有的学生用提取公因数的办法，有的学生用看个位数字的办法……演绎推理对归纳推理起到了很好的补充作用，也是相互佐证，给予我们教学很大的启发。

结 语

如果说大胆猜想是点燃了小学生智慧的火花，那么小心求证就是帮助他们掌握火候。作为小学数学教师，一定要清醒地认识到归纳推理对于数学教学的影响。最后，我希望教师们能够遵循波利亚在《教师十诫》中所提出的那样，小心呵护学生稚嫩的数学思维，给予他们足够的发展空间。

[1] G.波利亚.数学与猜想（第一卷）[M].北京:科学出版社,2001.

[2] 吴正宪、刘劲苓、刘克臣.小学数学教学基本概念解读[M].北京:教育科学出版社,2014.

[3] 顾娟,陈晶.知识是生长的:“和的奇偶性”教学实录与评析[J].小学数学教育,2016,(Z2):118-121.

[4] 王海峰,施丹瑾.引领儿童在思维情境中走向通透:“和的奇偶性”教学实践与评析[J].小学数学教师,2016,(05):48-51.