探寻动手操作走向深刻的联结点

王凤

摘 要：自《义务教育数学课程标准（修订稿）》实施以来，动手操作便成为老师重视的学习方法，课堂上学生动手操作的机会也明显增多，但是在教学中动手操作的数学学习的价值表现不够。在此，审视当今的小学数学课堂，进一步探讨了动手操作的必要性。

关键词：动手操作；思维；联结点

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，“认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。”小学数学学习过程中的动手操作，其价值不仅在于激发学生的学习兴趣，还在于让学生通过在亲力亲为中加深认知体验，将思维从无序引向有序，同时也提高了思维能力，积累了活动经验，为提出问题和解决问题提供了保障。布鲁纳认为，动作—表象—符号是儿童认知发展的程序，也是学生学习过程的认识序列。

缘起：一次听课带来的触动

二年级上册“认识平均分”这一课，有一位教师在练习环节设计了这样一个分气球的活动。

师：（从讲台背后变魔术般拿出15个气球），同学们，这些气球好看吗？

生：好看！

师：想不想知道有多少个？一起来数一数！（1、2、3、……15）这儿一共有15个气球。

师：老师想把这些气球平均分给几个小朋友，你想来分一分吗？

生纷纷举手，教师选择了一位手举得最高的学生（生1），让其他学生坐好，等着分气球。

生1来到讲台前，将气球数出5个，分给了第一个同学，接着又数了5个，分给了第二个同学，最后将剩下的气球分给了第三个同学。

师：这位同学是怎么分气球的？（学生描述分气球的过程），共分给了几个同学？（分给了3个同学）。

师：（拿回气球）谁还想来分一分？（指定生2）

生2将气球每人分2个，分给了7个同学，手里还拿着一个气球站在讲台前，有些不知所措。

师：（面向学生，指着生2）他将气球分完了吗？（没有，还剩1个）那这样分行吗？（不行！）这样分是不行的。

师：还能怎么分？（分气球活动继续进行）

生3将气球每人分3个，正好分给了5个同学。

生4将气球每人分4个，发现又没分完。

生5将气球每人分一个，分给了15个同学。

生6……

师：（下课铃响）这些气球你们想要吗？（想要）那就送给你们吧，下课后还可以和同学一起分一分。

反思：这样的操作所存在的问题

1.目的不明，操作随意

教师对学生提出“把15个气球平均分给几个小朋友”的要求过于笼统，缺乏指导性。学生在分气球时比较盲目、随意，而且本节课是认识平均分的第一节课，介绍的是“每几个一份来分物品”“把15个气球平均分给几个小朋友”这个问题的提出超出了本節课的学习范围，给学生分气球的活动增加了难度，使得学生将关注点由对数学知识的探究转移到实物气球上，造成了活动的盲目性与随意性。

2.指导不力，活动低效

分气球的活动看似热热闹闹，学生的积极性充分被调动，主动投入分的气球活动中，但由于活动前缺乏正确引导，活动中缺乏有效指导，活动后缺乏总结提炼，因此，从第一次分气球到第二次、第三次、第N次分气球，多次活动层次均处于平行状态，无优化、提升，活动没有达到既定目的，没有取得理想效果。因此可以说这个活动是低效的，学生的操作是一种“伪操作”。

3.关注活动，忽略思维

数学活动仅停留在简单的操作层面上，学生未能在头脑中实现认知结构的重组，思维没有真正展开。如：生1分完气球后，教师只让学生观察分的结果，交流得到15个气球每人分得5个，分给了3个人。而生1在分气球的过程中是怎么思考的？为什么这样分？数与数之间存在什么关系？除了这种分的结果以外，还可以怎么分也可正好分完？生2分气球的结果是没有分完，为什么会出现没有分完的情况？这些问题教师都没有关注，只是继续指定学生分气球，学生分气球的过程缺乏思考，活动的意义并不大。

实践：探寻动手操作走向深刻的联结点

1.操作后追问，促思考、揭本质

动手操作与数学思维密不可分，活动就是要让学生动起来，我们不能错误地认为只要动手操作，便可以达到目的，而忽视了学生的深层次思考。数学活动必须有明确的数学内涵和数学目的，迈向数学的本质。“动”应该包含“手动”“口动”“脑动”。在操作中发展学生的思维能力，让学生的思考不断深入。如在教学“正方体的侧面展开图”时，我是这样教学的：我先让学生用四个连着的正方形折成一个无底无盖的正方体，再问学生，如果要折成一个有底无盖的正方体，5号这个正方形应该装在四个连体正方形的哪儿呢？（如下图所示）该装在1号还是2号、3号、4号正方形上呢？让学生动手试一试。学生在动手的过程中，找到了几种不同的装法。老师接着问：“你们能找全所有的答案吗？能找到答案的同学试着把它的全部展开图画出来。”

即5号正方形装在1号、2号、3号、4号的位置都有可能。师再问：如果再添上一个正方形，能折出一个有底有盖的正方体吗？能找出所有的可能吗？在交流和动手中找出了正方体侧面展开图1-4-1形的所有的情况。

学生在动手中找出了1-4-1型的6种情况后，我并没有结束此课，而是追问“为什么这两个1，可以随意地放？”在讨论、思考中得出结论，因为4可以拼成正方体的前后左右面，而两个1就是它的上面和下面，在任意一个面上都可以折过去。这就是1-4-1型的本质，通过追问不仅发展了学生的空间想象能力，实现了一维与二维空间的转换，还培养了学生的思维能力。

2.操作后运用，推生长，建联系

朱德全教授指出：“应用意识的生成便是知识经验形成的标志。”获得数学知识的目的在于应用，应用意识的形成与应用能力的提高又能促进数学操作活动的提升。因此，教师要在教学过程中不断地为学生提供运用经验的机会，引导学生主动调动已有的操作活动经验解决数学问题。

如，在教学“平面图形面积的总复习”这一课时，在复习完长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形面积之后教师让学生按知识之间的联系摆一摆这些图形。有的同学是按知识的前后呈现，线性地摆出这几个图形，有的同学则是这样摆的：

学生是这样说的：“正方形、平行四边形和圆形的面积的推导都是以长方形的面积为基础，这三种图形都是将其把转化成长方形的面积，而三角形和梯形的面积都是转化成平行四边形的面积，以平行四边形为基础。”这样的操作让学生厘清了知识之间的脉络和知识之间的联系。有了这样的操作、有了这样的经验，在复习完圆柱、圆锥、长方体和正方体的知识之后，教师也应让学生摆一摆这四种立体图形体积之间的联系，摆出的图形如下：

正方体的体积是根据长方体的体积推导而出的，圆柱体积的推导过程是把圆柱转化成一个长方体，这两个立体图形的体积都是以长方体体积为基础的，而圆锥体积公式是由圆柱的体积推导出来的。

3.操作后反思，积经验，解问题

《义务教育数学课程标准（2011年版）》最大的变化是由“双基”变成“四基”，即增加了基本活动经验和基本数学思想。在教学中通过操作活动，让学生在操作中在积累数学活动经验。活动结束教师要给学生充足的反思、交流和总结的时间，让学生反思概念、規律、法则、公式等知识的形成过程，促使“经历”走向“经验”。在圆柱体积的计算的探索实践中有这样一道题：用两张同样大小的长方形纸分别做成两个不同的长方体，一个是以长方形的长为底面周长，宽为圆柱的高，另一个是以长方体的宽为圆柱的底面周长，长为圆柱的高，所做的圆柱体，体积相等吗？

我是这样教学的：

出示两张完全相同的长方形。

师：看，老师可以把这两张长方形纸做成两个不同的圆柱体。

师演示。一个是以长方形的长为圆柱的底面周长，长方形的宽为圆柱高，做成一个圆柱体，称1号图形；另一个是以长方体的宽为圆柱的底面周长，长方形的长为圆柱高，称2号图形。

师：对于用同样大小的长方体形纸做成的不同的圆柱体，你有什么想法？

生1：这两个圆柱的表面积肯定是不一样的，侧面积是相同的，但是底面积不一样，表面积不同，它们的体积可能相同吗？。

生2：我想说的是，它们的体积相同吗？不好说。

生3：我认为2号圆柱的体积大，因为它高。

生4：也不好说，可能1号的体积大，它胖呀，生活中胖的人体重大。

生5：它们两个的体积是一样的，因为用同一张纸做成的。

师：那么这两个圆柱的体积到底如何呢？我们怎么来验证？

有的说计算，有的说往里面装东西，谁装得多，谁的体积就大。

最后大家决定在圆柱里装米，看哪一个装得多。先在1号圆柱里装米，装满后倒入2号圆柱。如果装不满，表示2号圆柱的体积大；如果装不完，表示1号圆柱的体积大；如果正好装满，两个圆柱的体积一样大。

经过学生的动手实践，得出以长方形的长为圆柱的底面周长所做成的圆柱的体积大。

师问：是不是只要用两个面积完全相同的长方形围成不同的圆柱，就是用长方形的长为底面周长的圆柱体积大呢？

学生分成小组探究问题，他们用不同的长方形再做实验。得出的结论与前面是一致的，两个完全相同的长方形，围成不同的圆柱，以长方形长为圆柱底面周长，宽为圆柱的高，这样的圆柱的体积大，形象地称，矮胖子体积大，高个子体积小。

学生第一次操作，只是初步感知以长方形的长为底面周长的圆柱的体积大，有了这样的经验，再次操作就水到渠成，同时通过第二次操作让学生再次明白以长方形的长为底面周长的圆柱的体积大，不但获得了操作经验，还获得了知识经验，即如学生所说的那样矮胖子体积大，高个子体积小。老师让学生带着数学的眼光去观察世界，让学生去寻找这一知识在生活中的应用。经过学生一周的搜索，学生得到了以下几种情况：

A.商家为了使顾客感觉所买的东西大，往往包装桶做得又高又细。

B.某厂家推出的小饼干，直径变小了很多，这样“迷你”的小饼干，块数很多，让人感觉东西很多，其实不然。

C.在批萨店里的饮料杯子，杯子很高，可是底面半径很小，为的是所装的饮料少一些。

总之，动手操作是学生获取知识、积累经验、发展思维能力、解决问题的重要途径，在学生的学习中有着举足轻重的作用。老师在日常的教学中要把数学和动手操作有机结合起来，通过各种途径、方法使学生在操作中思维能力快步提升、创新意识不断加强，所学知识更加扎实、应用更加灵活，把操作活动引向深刻。

编辑 段丽君