追寻“理趣”：“核心素养”背景下重构小学数学推理教学

王晓兵

摘 要：推理是学生数学学习的重要方式，也是学生数学“核心素养”的重要组成部分。在小学数学推理教学中，教师要引导学生重视推理的证据事实以及推理的完整过程。小学阶段的推理应当以合情推理为主色调，以演绎推理为辅色调，将合情推理和演绎推理相互融通、相互促进。

关键词：核心素养；数学推理；推理理趣

“数学推理”是小学数学教学不可小觑的重头戏。东北师范大学史宁中教授认为，学生数学“核心素养”有三：抽象、推理与模型。推理不仅是学生数学的思维方式、学习方式，更是学生的存在方式、生活方式。可以这样说，推理与学生学习生活相生相伴，发展学生推理能力是数学教学的重要使命。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，应将学生推理能力发展贯穿于整个数学教学过程中。追寻“理趣”，是“核心素养”时代背景下小学数学教学的应然追求。

一、教学審思：让推理进场

在小学数学教学中，许多教师的教学观念和教学行为存在着误区，即认为由于小学生的年龄和心理特征影响，应当以直观教学为主。于是，推理教学被搁置，甚至被遗忘。这样的教学不利于培育学生数学核心素养。数学教学必须重视学生推理，引导学生推理，让推理进入数学教学现场。

1. 重视证据事实

所谓“推理”，是指由已知判断（前提）推出未知判断（结论）的过程。推理有两种重要形态，其一是归纳推理，其二是演绎推理。所谓“归纳推理”，是指从系列事实中概括出一般原理的过程；所谓“演绎推理”，是指从普遍性结论或大前提出发，推出特殊或个别结论的过程。无论是演绎推理还是归纳推理，都非常重视证据事实。换言之，学生的推理，无论是合情的还是合理的，都必须有一个前提性事实存在。在数学教学中，教师可以多呈现一些事实，以便让学生发现、证明或证伪。例如，苏教版小学数学六年级上册“分数除法”中的例2：4个橙子，每人分1/2个，可以分给几人？每人分1/3、1/4个呢？由此进行初步概括。但这里的分数都是分数单位，证据事实不充分。基于此，教材例3继续呈现事实，4米长的彩带，每2/3米剪一段，可以剪成几段？至此，可以引导学生概括整数除以分数的法则。而例4中，教材提供了分数除以分数的素材，在此基础上完全归纳出“甲数除以乙数”的法则。丰富的证据事实，让学生的推理跃上一个新的台阶，抵达一个新的学习高度。

2. 重视推理过程

苏联著名教育心理学家克鲁茨基在《中小学数学能力心理学》一书中深刻地指出，“推理是卓越数学家最重要的品质”。作为一门学科，数学是培育学生推理能力的良好载体。在数学教学中，教师不仅要重视推理的前提——证据事实，更要重视推理的过程；要引导学生学会推理，从前提出发，展开合情或合理推理；渗透简单的逻辑推理方法，如三段论；引导学生学会追问“为什么”，体会合情推理的或然性以及演绎推理的必然性，从而领略到数学学习的“理趣”。例如，教学苏教版小学数学五年级上册的《平行四边形的面积》，在学生通过“剪拼平移法”将平行四边形转化成长方形之后，教师要引领学生推理，这一推理是十分有趣的。“平行四边形的底相当于长方形的什么？”“平行四边形的高相当于长方形的什么？”“平行四边形的面积相当于长方形的什么？”“长方形的面积是怎样算的？”“所以平行四边形的面积可以怎样算？”这一过程的推理是十分严密的，这样的追问、训练，对学生的推理能力的训练是十分有益的。

数学推理，无论是合情推理还是演绎推理，都可以促进学生思维发展。在数学教学中，教师要精心设计数学活动，引领学生进行问题解决。不仅让学生展开合情推理、演绎推理，更为重要的是引导学生在合情推理和演绎推理之间进行有效转换，在推理中培养学生数学“核心素养”。

二、教学重构：让推理富有趣味

推理教学应当基于“学生立场”，从学生经验出发，让推理真正富有“理趣”。数学推理形式主要有类比、归纳（完全归纳和不完全归纳）和演绎推理等。在小学数学教学中，教师要容忍学生推理过程中的“不严格的清楚”，引导学生逐步从推理合乎情理发展提升为推理合乎逻辑。

1. 以“合情”为主色调，为理趣奠基

“合情推理”有助于发现，应该是小学生主要的推理方式。著名数学家波利亚说，“数学要教证明，更要教猜想”。由于小学生处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，并且以形象思维为主，因此小学阶段的推理应当以“合情”推理为主色调，以丰富的合情推理为推理理趣奠基。教学中，教师可以引导学生进行归纳性、类比性猜想。例如，对于苏教版小学数学五年级下册的《3的倍数的特征》，在集体备课时，备课组出现了两种意见：一种认为教师可以直接暗示学生探究3的倍数的特征，比如通过拨算珠、数算珠，进而萌发猜想；另一种认为应该让学生基于2、5倍数的特征基础进行合情猜想。应该说，第一种意见，不容易让学生产生学习的负迁移，容易让学生的数学探究顺利地步入正轨；第二种意见有利于让学生经历“自然猜想—验证否定—再猜想—再验证”的过程，这样的教学容易让学生产生探究挫折，但也正是挫折，才能让学生领悟类比推理的或然性、合情推理的无效性。在这个过程中，学生能够获得深度学习、探究体验，能够获得宝贵的数学活动经验。实践中，笔者采用第二种意见进行教学，在学生第一次猜想、验证推翻猜想后，笔者用两个活动激发学生兴趣：一是呈现“百数图”，学生直观看到2的倍数和5的倍数的数都在同一列，而3的倍数却在斜线上，以此让学生感受2、5的倍数特征与3的倍数特征的不同；二是用“拨珠听音判断”的方法让学生拨算珠，教师听音判断。这样的教学，让学生获得了类比等推理可能会出错、合情推理需要进一步验证的体验。学生对这种合情推理似真性、或然性的感受、体验有助于增强推理的“理趣”。

2.以“演绎”为辅色调，为理趣增值

演绎推理是推理的另一种模式。如果说合情推理是为了猜想、发现，那么演绎推理就是为了证明或证伪。演绎推理能够让抽象的数学概念、复杂的数量关系等变得更加清晰、更有条理。演绎推理是一种必然性推理，具有逻辑性、实践性、发展性品质。教学中，教师要积极探寻演绎推理的教学策略，提升学生演绎推理的能力。例如，教学苏教版数学五年级下册的《圆的周长》，笔者让学生用圆规画出了一个圆，然后用三角尺60°角的顶点重合圆心，沿三角尺的两条边画出了两条半径，然后连接这两条半径与圆周的交点，形成了一个三角形。许多学生直觉感知认为，这个三角形是等边三角形。“为什么是等边三角形呢？”学生展开了热烈的讨论、交流。有学生认为，三角形中的两条边是圆的半径，而圆的半径都相等，所以这个三角形是等腰三角形（演绎推理）；有学生补充，因为三角形是等腰三角形，所以三角形的两个底角相等，又因为三角形的顶角是60°，三角形内角和是180°，所以两个底角的和是120°，所以两个底角都是60°，所以三角形的三个角都是60°，因此三角形是等边三角形（演绎推理）。在学生演绎推理的基础上，笔者让学生顺次画这样的等边三角形，学生一共画出了6个。他们发现，圆的周长比正六边形的周长要长一些，也就是大于6r或者说大于3d。在此基础上，学生运用“滚圆法”“绕圆法”测量周长，进行数学实验。在这个过程中，学生从直观思维迈向逻辑思维（形式化演绎），学生通过形式演绎和逻辑推理，对圆周长与半径、直径之间的关系进行了深刻体验、感受。在演绎推理中，学生能够触摸到数学知识的本质。

3.以“综合”为调色盘，为理趣美颜

合情推理和演绎推理是推理的两种重要方式。在数学教学实践中，很多时候，既要运用合情推理，又要运用演绎推理。东北师范大学史宁中教授说得好：“多年来，我国基础教育重视学生的演绎推理，而弱于合情推理。……如果教学中既有演绎能力又有归纳、类比能力的培养模式，我国基础教育将会领先世界。”著名数学家庞加莱说，“演绎推理用于证明，合情推理用于发现”。可见，合情推理和演绎推理是相辅相成、相互促进的。在小学数学教学中，以综合推理为调色盘，可以为推理美颜。例如，教学《小数的意义》（苏教版小学数学五年级上册），学生通过1分米=1/10米=0.1米，演绎推理出3分米就是3个1分米、3个1/10米，就是3/10米，也就是0.3米；类比推理出1厘米=1/100米=0.01米、1毫米=1/1000米=0.001米等；最后不完全归纳出十分之几是一位小数、百分之几是两位小数、千分之几是三位小数……在这个过程中，学生的合情推理和演绎推理是相辅相成、相得益彰、相互促进的。在小学数学教学中，教师要根据教学内容，共同渗透合情推理和演绎推理。由此，学生能够经历完整的猜想、证明过程，能够感受、体验到推理的意义和价值。

小学阶段是数学推理教学的起步阶段。在学生数学学习过程中，教师要有意识地将推理贯穿始终。只有将推理融入数学教学中，才能改变学生机械接受、识记的学习状态，才能让学生经历主动发现、猜想、验证等数学活动，学生才能领略到数学推理的趣味、数学学习的趣味。数学教学由此将多一分和谐、灵动和智慧。