初中几何证明题教学浅析

苏凤英

[摘 要]几何是一门逻辑性十分严谨的学科，要想让学生熟练地掌握几何证明题的证明方法，学好几何，提高数学成绩，首先得让学生对几何学习产生兴趣，使学生牢固掌握几何定义、性质和定理；其次要培养学生良好的学习习惯；第三要让学生善于总结归纳，掌握解题的思路；最后再让学生做一定量的练习题，积累证题经验。

[关键词]几何证明题；初中几何；几何语言

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0019-02

初中几何即平面几何，它是初中数学的重要组成部分。平面几何是运用逻辑推理的方法来研究平面图形性质的一门学科。按新课标的要求：在图形与证明中，学生应掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有理有据。而初一学生在小学里虽然学过一些几何知识，但只要求能看懂图形，根据图形回答问题即可。到了初中，要从实验几何向论证几何过渡，在刚开始学习时很多学生会觉得很难，不知从何入手，从而害怕几何而怕学数学，有的甚至因此而放弃数学。作为一线教师，如何才能使学生喜欢几何，不怕几何，掌握好几何证明题的证明方法呢？笔者在多年的教学实践中发现，可从以下几个方面入手。

一、激发几何学习兴趣

兴趣是最好的老师，有了兴趣任何教学活动都很容易实现。因此，在正式上几何证明课之前，教师可先上一节预备课，教学内容为几何的重要性。教师可用多媒体投影介绍几何的发展历程，如从古希腊的测地术到当今世界到处可见的高楼大厦，让学生了解从日常生活到工农业生产都离不开几何，到处都是几何的踪影，懂得几何这门学科既是学习其他学科的工具，更是培养逻辑思维能力，开发智力的起点，从而激发学生的几何学习兴趣。

二、入好几何证明门

几何证明要使用几何语言，而几何语言是学好几何的“敲门砖”。有部分学生对几何学习产生畏惧心理，感到几何难学，其主要原因是没有掌握好几何语言。在几何中，几何语言分为文字语言、符号语言和图形语言，三种语言可以互译互补。因此，要入好几何证明门，关键是做好以下两点。

1.几何语言表达要准确

首先，要使用几何语言来表达。这对于刚学几何的学生来说，是一件很难的事情。因此，教师要教会学生几何语言的使用和表达方法。在每一节几何课里，都要特别强调注意几何语言的规范性，要让学生理解并熟练掌握规范的几何语言，如：“过点C作CD⊥AB，垂足为点D”“延长线段AB到点C，使AC=2AB” “过点A作直线l[?]CD”等，引导学生逐字逐句地阅读分析句子的含义，边读边演示边作图，把文字语言转换为图形语言；反复多次进行三种几何语言的互译训练，让学生理解每一句话，读懂题意，会用几何语言来表达又会作出图形。

其次，几何语言表达要准确。例如，钝角的定义：“大于直角而小于平角的角叫作钝角。”这里的“而”字千万不能说成“或”字。“一字之差”意思各异，所以，要注意几何语言表达的准确性。

2.推理过程要有理有据

几何证明的推理过程要求每一步都要有理有据，推理证明的书写是有格式的，都是从已知条件出发，根据已经学过的数学定理、定义、公理、性质等知识，顺着推理，由“已知”得出“推知”，由“推知”得出“未知”，逐步地推出求证的结论。这种证题格式就叫作“演绎法”。课本上的例题及定理的证明，多数都是采用这种格式。它的书写表达常用的几何语言是“因为……所以………”。在学生开始学习几何证明时，教师应要求学生掌握规范的证明题书写格式和步骤。为此，笔者常要求学生写好证明过程，并在每一步后面的括号内填写理由，而且强调推理论证过程要步步有理有据。

例如，在《平行线的判定》的教学中，笔者以填空题的形式出示下列证明题让学生填写。

如右图所示，①因为∠1=∠3（已知），

所以 AB[?]CD（ ）；

②因为∠3=∠4（已知），

所以AB[?]CD （ ）。

然后再改变填空的形式：

③因为 （已知），

所以AB[?]CD（ 同旁内角互补，两直

线平行）。

通过不同形式、反复地填写，让学生掌握平行线判定的表达格式，体会图形与题目存在的依存关系。

最后，让学生在会填写理由的基础上模仿例题书写格式自己编制证明题，并逐步由简到难，由浅入深，让学生慢慢体会到做几何证明题其实不难，从而提高对几何证明题的学习信心。

三、厘清证明思路

“几何证明難”其实就是难在证明思路上。对于众多的几何证明题，都是有证明方法和思路的，教师要不断引导学生总结探索证题的方法和技巧，使学生一看到求证结论就想到要采用的证题思路，提高解题的速度和效率。那么，怎样引导学生厘清证明思路呢？

一要认真审，即认真读题，要逐字逐句地读题，边读题边看图边思考：题目给的条件有什么用？要使结论成立需从什么地方入手去寻找条件？

二要用心记，即标记和牢记。标记就是在所给的图形中标记每一个已知条件。如给出“对边相等”，就要用符号“、”在相等的边上做标记。牢记即记住题目给的条件，做到不看题，都可以把题目复述出来。

三要分析证题思路。思路一般有三种：

（1）正向思维。对于一般简单的题目，通常用正向思维，由已知条件出发推出要证明的结论。

（2）逆向思维。即从相反的方向去思考问题。也就是从题目要证明的结论出发往回找。

（3）正逆结合。即正向思维和逆向思维相结合进行应用。

四要熟记证题依据。即看到证明结论就想到可能要采用的方法。例如：

（1）“证明两线段相等”就要想到可能采用“等腰三角形底边的高和顶角平分线都平分底边”“同一个三角形等角对等边”“两全等三角形对应边相等”“直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等”“平行四边形的对边相等”“平行四边形的对角线互相平分”“同圆（或等圆）中相等的弧所对的弦相等”“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”“同圆（或等圆）中相等的圆心角或圆周角所对的弦相等”“角平分线上的点到角的两边的距离相等”“两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等”“从圆外一点引圆的两条切线，那么两切线长相等”“垂直于弦的直径平分这条弦”等。

（2）“证明两个角相等”要想到可能采用“同一个三角形中等边对等角”“等腰三角形中，底边上的高和底边上的中线平分顶角”“两个全等三角形的对应角相等”“两条直线平行，同位角相等，内错角相等”“平行四边形的对角相等”“同弧（或等弧）所对的圆周角相等”“同圆（或圆）中，相等的弦（或弧）所对的圆心角相等”“弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角”“同角（或等角）的余角（或补角）相等”“从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角”“圆的内接四边形的外角等于它的内对角”“相似三角形的对应角相等”等。

（3）“证明两条直线互相垂直”就想到可能采用“等腰三角形的顶角平分线和底边的中线都与底边的高重合，即垂直于底边”“在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角”“三角形中一边的中线如果等于这边的一半，则这一边所对的角是直角”“一条直线垂直于平行线中的其中一条，则必垂直于另一条”“邻补角的平分线互相垂直”“两条直线相交成直角，则两条直线垂直”“到一条线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上”“菱形的对角线互相垂直”“直径所对的圆周角是直角”“ 平分弦（或弧）的直径垂直于弦”等。

（4）“证明两条直线平行”就要想到可能采用“如果内错角或同位角相等，那么两直线平行”“如果同旁内角互补，那么两直线平行”“如果是梯形的中位线，那么它平行于两底”“如果是平行四边形，那么它的对边平行”“如果两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线也互相平行”“如果是三角形的中位线，那么它平行于第三边”“如果一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于第三边”“如果两条直线都平行于同一直线，那么这两条直线平行”等。

（5）“证明线段的和差倍分”就要想到可能采用“在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明剩下的部分等于第二条线段”“作两条线段的和，证明它与第三条线段相等”“取长线段的中点，再证其一半等于短线段”“延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等”等。

（6）“证明角的和差倍分”就要想到可能采用“与证明线段的和差倍分思路相同”“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”“利用角平分线的定义”等。

（7）“证明线段不等”就要想到可能采用“垂线段最短”“在同一个三角形中，大角对大边”“三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边”“在两个三角形中，有两边分别相等而夹角不等，那么夹角大的所对的边就大”“全量大于它的任何一部分”“同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小”等。

（8）“证明两角不等”就要想到可能采用“在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角”“三角形的外角大于和它不相邻的任何一个内角”“全量大于它的任何一部分”“同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大”等。

（9）“证明比例式或等积式”就要想到可能采用“平行线截线段成比例”“相似三角形的对应边成比例”“与圆有关的比例定理——相交弦定理、切割线定理及其推论”“直角三角形中的比例中項定理即射影定理”“比例式化为等积式”等。

（10）“证明四点共圆”就要想到可能采用“到同一个定点的距离都相等的各点在同一个圆上”“对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上”“同斜边的直角三角形的顶点在同一个圆上”“外角等于它的内对角的四边形内接于圆”等。

总之，几何是一门逻辑性十分严谨的学科，为了让学生熟练掌握几何证明题的证明方法，教师应引导学生认真审题，熟悉掌握解题的常见思路。最后再辅以一定量的练习题让学生进行训练，帮助学生积累解题经验，从而有效解决几何证明题。

（责任编辑 黄春香）