例谈化归思想在求数列通项中的应用

鲍远春

[摘 要]数列是高中数学的知识模块中相对较为灵活多变的地方，技巧性强.高中教材中，只介绍等差数列和等比数列.对各种形式复杂的数列，要通过一定的变形才能将它转化为等差数列和等比数列.化归思想在解决数列有关问题时特别有效.

[关键词]数列；化归思想；通项；转化

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2018）14-0033-02

所谓化归，就是将新的数学问题通过变形、转化等方式归结为我们熟悉的、已解决的问题.这是我们探索新问题的常见思想方法之一.这种思想的重要性不言而喻.高中数学的问题往往是源自课本，但形式又是新颖的，因而化归思想常在解决问题中特别有效.本文尝试用化归思想去解决数列中求通项这一类问题来体现化归思想的作用.

【例1】 数列[an]中[a1]已知，且满足[an=qan-1+b][（n≥2）]，求通项[an].

但是上面的做法有一个疑问，就是必须在[q≠1]时才可行，否则这里的[λ]无法取值.那么当[q=1]时应该如何求解呢？事实上这时候这个数列本身就是等差数列，无须通过化归的方法，可以直接求解.

【例2】 数列[an]中[a1]已知，且满足[an=qan-1+γbn-1]，[q≠b ][（n≥2）]，求通项[an].

和上题进行类似的考虑，可知应当转化为等比数列问题.但与上例的不同之处在于，此题中多出来的项与[n]有关，因而在对原数列进行变形的时候，加上的项也应该与[n]有关.事实上，我们考虑

[an+λbn=q（an-1+λbn-1）].

为与条件相容，我们必须有

因此我们应该取[λ=γq-b]，即[{an+γq-bbn}]构成首项为[a1+γq-bb]，公比为[q]的等比数列，进而可以用等比数列方面的相关知识求解，通项为

[an=a1+γq-bbqn-γq-bbn].

在此题中，我们注意到[λ]的选取仍要求[q≠b]，如果这一条件不满足仍无法取[λ]，且[q=b]时也不能直接归结为等比数列问题或等差数列问题，故仍需进一步讨论.

【例3】 数列[an]中[a1]已知，且满足[an=qan-1+γqn-1]，[q≠0][ （n≥2）]，求通项[an].

在這个问题中，我们要尝试将原问题转化为等差数列，将等式两边同时除以[qn]，即可得到

[anqn=an-1qn-1+γq].

这样，考虑数列[anqn]，这是一个首项为[a1q]，公差为[γq]的等差数列，因而可以用等差数列的方式求解，通项为

[an=[a1q+（n-1）γq]qn-1].

【例4】 在数列[an]中，[a1，a2]已知，当[n∈N*]，[an+2=pan+1+qan]，求[an.]

在这个问题中

[an+2+λan+1=μ（an+1+λ）an]，

即[an+2=（μ-λ）an+1+λμ an]，

[μ-λ=pμλ=q]，

解出[λ，μ].

易知 [{an+1+λan}]是以[a2+λa1]为首项，[μ]为公比的等比数列.

由等比数列知，[an+1+λan=（a2-λa1）μn-1]，然后再转化为例2或例3求解.

【例5】 数列[an]中，[a1]已知，且满足[an=aan-1+ban-1+c]（其中[a，b，c∈R]且[ac≠b]），求[an].

在这个问题中，我们需要利用不动点法来转化为常规数列求解.

若[f（x0）=x0]，则称[x0]为的[f（x）]不动点，记[f（x）=ax+bx+c]，则[an=f（an-1）]，令[ax+bx+c=x]，则[cx-ba-x=x]，此时[an-x=aan-1+ban-1+c-x=（a-x）an-1+b-cxan-1+c]

[=a-xan-1+can-1-cx-ba-x=a-xan-1+c（an-1-x）].

当[a1=x]时，显然[an=x]；

当[a1≠x]时，易知[an≠x]，

此时可求[x1，2=a-c±（c-a）2+4b2].

（i）当[（c-a）2+4b≠0]时，有

[an-x1=a-x1an-1+c（an-1-x1）an-x2=a-x2an-1+c（an-1-x2）]，

所以[an-x1an-x2=a-x1an-x2an-1-x1an-1-x2]，即[an-x1an-x2]是公比为[a-x1a-x2]的等比数列，

有[an-x1an-x2=a-x1a1-x2a-x1a-x2n-1]，由此可求出[an]；

（ii）当[（c-a）2+4b=0]时，上述方法失败，此时[x=12（a-c）]，有[x+c=a-x]，仍有[an-x=（a-x）（an-1-x）an-1+c].

所以

[1an-x=an-1+c（a-x）（an-1-x）=1a-x× an-1-x+x+can-1-x=1a-x1+x+can-1-x]

[=1a-x1+a-xan-1-x=1an-1-x+1a-x].

即[1an-x]是公差为[1a-x]的等差数列，由此可求出[an].

以上几个例子，均是化归思想在数列通项问题中的体现.其实化归思想体现在高中数学的许多地方，此处只是通过“数列通项”这个角度浅谈其应用.将陌生的问题转化为教材上讨论过的问题，进而求解，这是高中生必备的技能之一.

（责任编辑 黄桂坚）