浅谈数学教学中实现化归的一条有效途径

赵志菊

摘要：针对目前化归的教学缺乏理论深度，没有解决如何寻求化归途径这一核心问题，运用“矛盾分析法”来解决这个问题，由此找到了一种不需凭借灵感和经验，即可自学寻求化归途径的有效方法。

关键词：化归方法；教学思想；矛盾分析法

化归是探索数学解题方法的一种重要思想，是利用“等效的途径”恰当地把问题变化，使“已知的”和“所求的”也就是使问题的“初始状态”和“目标状态”，愈来愈接近。对于较简单的数学问题，通过类比等手段，化归极易实现，但对于较复杂的数学问题，要实现化归就比较困难了。目前化归方法的教学，一般只是停留在培养化归意识的层次上，即是在遇到不易解决的问题时，能够想到将其转化为已经解决或较易的问题，至于如何实现这种转化，却无法告知学生。于是，学生只能凭借自己个人的经验与灵感，在迷茫中摸索着前进，不仅耗时耗力，而且难见成效，这就在很大程度上挫伤了学生学习数学的积极性，进而影响了数学教育教学质量的提高。为了彻底改变这种状况，我们有必要寻求一条实现化归的途径——用矛盾论的观点去观察问题、分析问题，再根据矛盾转化的规律去解决问题。这是一种哲学方法，我们称其为“矛盾分析法”。将矛盾分析法用于解决数学问题，首先需要揭示数学问题的差异，并在此基础上根据矛盾转化的规律寻求差异间的联系，再借助这个联系找出化归的有效途径。由于“逆向思维”反映了矛盾转化的这个规律，因此，借助“逆向思维”寻求化归途径就能使我们有所遵循。请看下面的例子：

例1：若a3>a2>a1>0，求证：a1 a2 ·a2 a1 ·a3 a1 >a1 a3 ·a2 a1 ·a3 a2

分析：比较条件与结论，不难发现它们之间的差异是：条件式简单而结论式复杂；条件式中不含指数幂，而结论式中含有指数幂。下面运用“逆向思维”去寻求差异间的联系：首先由结论式入手，由于条件与结论均为不等式，而不等式的对立面是等式，因此由逆向思维可想到将不等式转化为等式，但此举却一时难以实现，故先暂时搁置一下，这里的暂时搁置其实也是逆向思维的结果；再由结论式知，不等式中含有指数幂，而指数的对立面是对数，因此由逆向思维即可想到化指数式为对数式，此举则不难做到。因为a3>a2>a1>0，所以将结论式两边取对数，得：lg（a1 a2 ·a2 a3 ·a3 a1 ）>lg（a1 a3 ·a2 a1 ·a3 a2 ），展开整理得：（a2-a3）lga1+（a3-a1）lga2+（a1-a2）lga3>0，由于该式中出现了较多形式相同的对数式，所以由逆向思维又可想到“化多为少”，于是可想到构造通式将3个对数式统一起来，并由此想到构造辅助函数y=lgx。此举则为一举两得，既实现了“化多为少”，又实现了化指数式为对数式，但还无法实现化不等式为等式的初衷。由此可见，此举定是解决问题的关键，事实上也确是如此，y=lgx即是差异间的联系，又是联系条件与结论的桥梁，通过它的沟通，我们即可找到化归的有效途径。又函数的对立面是图像，故由逆向思维又可想到作出y=lgx的图像，并在图像向左向右一次取三点：A1，A21，A31，令其横坐标分别为a，a2，a3，则其纵坐标分别为lga1，lga2，lga3，从而有Rt△A1A23A22～Rt△A1A32A31，于是由相似三角形性质即得：A23 A22 = A1 A23 A1 A32 · A32 A31 = a2 -a1 a3 -a1 （lga3 -lga1 ），因为lga2-lga1=A23A21>A23A22，所以lga2-lga1>a2-a1a3-a1（lga3-lga1），化简整理得：lga2 a3 -a2 >lga3 a2 -a1 -lga1a2 -a1 + lga1 a3 -a1♂ =lga3 a2 -a1 + lga1a3 -a2 = lga3 a2-a1 ：a1 a3-a1去对数符号，得：a2 a3 -a2 >a3 a3 -a1 ·a1 a3 -a2 即 a1 a2 ·a2 a3 ·a3 a1 >a1 a3 ·a2 a1 ·a3 a2 ，从而证得结论成立。

有时，凭借个人的灵感，经验和技巧，我们也能找到化归的途径，但那是盲目的，不自觉的，而且多少带点偶然性，因此不足为训，请看例2、解方程：x3+（1+2）x2-2=0

分析：这是一个关于x的一元三次方程，由于次数高，求解不便，因此应想到将其化归为较易求解的一元一次或一元三次方程。凭借解题经验与技巧，我们可将原方程得左边分解因式得：

（x+2）（x2+x-2=0，从而可将原方程转为化如下两个方程：

x+2=0，x2+x-2=0，借助于解这两个方程，即可较易地求出原方程的解。这种解法虽然简便，但该法技巧性转强，不是人人都能做得出来的。我们希望能有这样的解题通法，它既不需要直觉和灵感，也不需要经验与技巧，就能较易的找到化归的途径。矛盾分析法正是这样的一中解题通法。下面我们用矛盾分析法来解上述方程，在原方程中，存在和高次与低次，已知与未知的差异。由高次与低次的差异应想到“化高为低”，即设法将三次方程化为一、二次方程；由已知与未知的差异则应想到“化未知为已知”或“化已知为未知”，于是可将发未知数x暂时看成已知数，而将已知数2及2暂时看成未知数，即可将原方程从形式上化为关于“2”的一元二次“方程”：（2）2-x2（2）-（x3+x3）=0，解这个方程得：2=-x或2=x2+x

从而便自然流畅地将原方程化为一元一次（二次）方程。這里基本上不需直觉与灵感，也不需经验和技巧，只要按照矛盾分析法的操作规程去做就成。综上所述，用矛盾分析法寻求化归途径的过程，乃是近乎按“章”办事的一中操作规程，这个“章”就是矛盾转化的规律，就是运用逆向思维去寻求差异间的联系，并借助这个联系将待解决的问题化为已经解决或转易解决的问题。由于在上述转化过程中，我们是遵循思维规律思考问题的，因此可以避免盲目的探索，使我们少走或不走弯路，这就大大提高了解题效率，降低了解题难度，从而使学生的解题能力大为提高。

参考文献：

[1]郑君文，张思华，数学学习论，广西教育出版社

[2]顾越玲，数学教学中化归方法的难点及其突破，数学教育学报，2002.2

[3]波利亚，怎样解题[M]，北京：科学出版社，1982.15

（作者单位：云南省临沧市第一中学677000）