带乘性噪声的随机分数阶Ginzburg-Landau方程的渐近行为

王云肖, 舒 级, 杨 袁, 李 倩, 汪春江

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

复Ginzburg-Landau方程是关于非平衡流体动力系统和化学系统的不稳定、超导和超流体、非线性光纤和Bose-Einstein凝聚的重要模型.非线性Schrödinger方程是一Hamilton系统,在有限时间拥有局部奇异解,而复Ginzburg-Landau方程是非线性Schrödinger方程的耗散情形.目前已有许多关于Ginzburg-Landau方程的研究[1-9].Guo等[9]研究了广义2D Ginzburg-Landau方程

αλ1·▽(|u|2u)+β(λ2·▽u)|u|2,

并得到了在

条件下整体吸引子的存在性.对于随机情形,Crauel等[10]研究了随机广义2D Ginzburg-Landau方程

du=(ρu-(1+iγ)Δu-(1+iμ)|u|6u+

αλ1▽(|u|2u)+β(λ2▽u)|u|2)dt+ΦdW.

本文考虑如下带乘性噪声的随机广义2D分数阶Ginzburg-Landau方程

du=(ρu-(1+iγ)(-Δ)αu-

(1+iμ)|u|6u+λ1·▽(|u|2u)+

(λ2·▽u)|u|2)dt+θudW,

x∈R2,t>0,

(1)

具有如下初值和周期边界条件

u(x,t)=u(x+2πei,t),

u(x,t0)=u0(x),x∈R2,

(2)

其中,wk(k∈N)是相互独立的实值布朗运动,(ek)k∈N是L2(R2)上的正交基.

本文的目的是证明问题(1)～(2)在L2(R2)上存在随机吸引子.为此,需要证明u(t)关于时间在不同空间的一致有界性.在这里应用类似于文献[11-17]中的方法来解决这个问题.

1 预备知识

定义1[11]设(X,d)是可分的距离空间,F是Borelδ-代数,θt是(Ω,F,P)对应的保测变换,若可测映射

在X上满足:

1)S(0,ω)=IX;

2) 对任意的s,t∈R,ω∈Ω,有S(t+s,ω)=S(t,θsω)∘S(s,ω);

3)S(t,ω):X→X是连续的,

那么称S是一个连续随机动力系统.

定义2[12]给定一个随机集K,集合

称为K的Ω-极限集.

1)A(ω)是严格不变的,即对于所有t>0,S(t,ω)A(ω)=A(θtω);

2)A(ω)吸引所有确定有界集B⊂X,

那么称A(ω)为S的随机吸引子.

是S的随机吸引子.

接下来给出2个重要引理[15].

引理1设u∈Lq并且对于u的m阶导数为Dmu∈Lr,1≤q,r≤∞.对于Dju,0≤j

(3)

并有

(4)

引理2假设S>0并且p,p2,p3∈(1,∞).如果f,g∈S,并且

(5)

则有不等式

‖f‖Hs,p3‖g‖p4),

C(‖▽f‖p1‖g‖Hs-1,p2+‖f‖Hs,p3‖g‖p4).(6)

‖▽u‖L∞(0,T,L2(D))<∞.

最后给出分数阶拉普拉斯算子和分数阶Sobolev空间及其范数的定义.

另外,分数阶Sobolev空间Hα的范数规定如下

本文常用的几个函数空间定义为

H=L2(R2),V=Hα(R2),

其范数分别为‖·‖和‖·‖V.

2 随机分数阶Ginzburg-Landau方程的解及其对应的随机动力系统

本节证明问题(1)～(2)对应随机动力系统的存在性.为此,方程(1)可写为

(1+iμ)|u|6u+λ1·▽(|u|2u)+

(7)

引入过程[11]

z=e-θW(t),

且满足随机偏微分方程

该方程的解z是Ornstein-Uhlenbeck过程,z∈C([0,∞],V)[12],z是稳态遍历过程,它的迹是P-a.s.连续的,并且对于任意t和s有

z(t,θs,ω)=z(t+s,ω),P-a.s.

设B是H中的有界集,对于t0<0和ut0∈B,令

v(t)=u(t)z(t),t≥t0,

其中u是方程(1)的解.由方程(7)和v的形式知,随机过程v满足随机方程

(1+iμ)z-6|v|6v+λ1z-2·▽(|v|2v)+

z-2(λ2·▽v)|v|2,

(8)

v(t0,ω)=v0(ω)=u0z(t0,ω).

(9)

对任意v(t0)=v0,v(t,ω;t0,v0)表示方程(8)～(9)的解,有

v(t,ω;t0)=u(t,ω;t0,u0z(t0,ω))z(t,ω).

显然,由

S(t,ω;t0)u0=u(t,ω;t0)=

v(t,ω;t0,v0z(t0,ω))z(t,ω)

定义了随机动力系统{S(t,ω;t0)}t≥t0,ω∈Ω,称为由带乘性噪声的随机分数阶Ginzburg-Landau方程产生的流.对于t≥t0,映照ω→S(t,ω;t0)u0是可测的[19].

3 随机吸引子的存在性

现证明{S(t,ω;t0)}t≥t0,ω∈Ω是紧的,并且t=t0时在H、V中存在紧吸收集.令v是方程(8)～(9)的解,对于ω∈Ω,需要得到解v在H,V上的先验估计.在本文中,εi(i=1,2,…,13),i(i=1,2,…,8),ki(i=1,2,…,8),κi(i=1,2,…,14),C和c表示依赖方程(1)系数的正常数.

证明将方程(8)与v作内积,并取实部得

(10)

有

方程(10)可以写为

-Re(1+iμ)z-6(|v|6v,v)+

2Reλ1z-2·▽(|v|2v,v)+

(10)式右边第一项可估计为

(12)

(10)式右边第二、三项可估计为

(13)

则

(14)

其中

g1(t)=c(λ1,λ2,μ)(z-8+z-12)+‖▽v‖2.

根据Gronwall不等式有

2(‖u(t0)‖2‖z(t0)‖2)e-(t-s)+

证明将方程(8)与(-Δ)αv作内积,并取实部,得

(15)

则有

(16)

(17)

则(15)式可变为

c(λ1,λ2)z-8+‖▽v‖4,

(18)

可得

C=c(λ1,λ2)z-8+c(r1(ω)),

(19)

其中

在[s,t]上对(18)式进行积分,s,t∈[-1,0],

由引理3得

r3是P-a.s.有限的.

定理2带乘性噪声的随机分数阶Ginzburg-Landau方程在H中存在紧的吸引子.