基于改进RVM算法的三元锂离子电池SOC估计

刘金江, 颜伏伍*, 杜常清

(1. 武汉理工大学 现代汽车零部件技术湖北省重点实验室, 湖北 武汉 430070 2. 汽车零部件技术湖北省协同创新中心, 湖北 武汉 430070)

三元锂离子电池具有比功率高、电化学性能稳定、一致性好和低温性能好等优点,是最具发展前景的锂离子动力电池.三元锂离子动力电池的荷电状态(SOC)估计算法得到了广泛的研究.动力电池SOC的估计对于电池管理系统(BMS)的有效运行和人车交互起到至关重要的作用.高效精确的SOC估计可以提供给驾驶员准确的电池剩余电量的信息,还可以衡量动力电池系统的可靠性,同时为电池的充放电策略提供准确的数据基础[1].

然而电动汽车动力电池的SOC受到如充放电电压、电流、温度、放电深度和老化程度等诸多因素的影响,为其精确的估算带来了挑战.总体而言,SOC估计方法主要分为:常规算法、滤波算法和数据学习算法等.

SOC估计的常规算法包括开路电压法和安时积分法等.开路电压法简单、易行,且精度较高,但开路电压需要在动力电池达到平衡状态下才能测得,而动力电池需要较长时间的静置才能达到平衡状态[2],因此不适用于动力电池SOC的在线估计.安时积分法较易实现,且耗费的计算资源很少,然而,该方法较难确定SOC的初始值,一旦SOC的初始值有误差,将会导致接下来的SOC估计会有累计误差[3],这会造成估计精度越来越差.

SOC估计的滤波算法包括卡尔曼滤波算法及其改进算法[4-7],被广泛应用于电池的SOC估计,具有良好的自我修正的能力,可以适应电流的急剧变化,但其估算精度严重依赖于电池等效电路模型的准确性,且运算量较大[8].

SOC估计的数据学习算法中,神经网络法可以通过已测得电池的外部数据进行SOC的估计,然而,该算法需要存储大量的数据用于训练模型,因此,需要耗费大量的内存资源,有可能导致系统运行超载[9].支持向量机法具有较强的泛化能力,特别是对小样本数据的函数估计,但该方法存在需要估计正则化参数、核函数必须满足Mercer条件、所需核函数数量随训练集增大而显著增加等不足[10].

基于数据驱动的另一种学习算法,相关向量机(RVM),在贝叶斯框架下进行训练,为每一个权重值引入一个先验超参数,进行权重的约束,以避免出现过拟合,先验参数可以由给定训练数据迭代估计而来,在先验参数的结构下基于主动相关决策理论来移除不相关的点,从而获得稀疏化的模型[11].在样本数据的迭代学习过程中,大部分参数的后验分布趋于零,与预测值无关,那些非零参数对应的点被称作相关向量,体现了数据中最核心的特征[12].同支持向量机相比,相关向量机最大的优点就是极大地减少了核函数的计算量,并且克服了所选核函数必须满足Mercer条件的缺点.文献[8,12-13]均提出了基于RVM对电池进行SOC估计的方法,但是都没有进行大样本数据的预测,其中进行SOC估计时采用训练样本最大的是文献[13],仅为180组,而实际上,BMS会对电池的各项数据进行实时采集,数据量比较大,因此必须考虑大样本情况下基于RVM对三元锂离子电池SOC的估计情况.

本文基于相关向量机研究了3种改进算法,即循环相关向量机、自回归相关向量机和自回归循环相关向量机对估算SOC的适用性的各自特点,采用了3 600组数据作为训练样本,同时采用另外3 600组数据作为预测样本,从估算精度、拟合能力、泛化能力和运行速度等几方面系统的对比分析了这3种改进算法与最小二乘支持向量机算法的优劣.

1 相关向量机数学模型

相关向量机,是由Tipping[14]提出的监督式学习算法,是一种非线性概率模型,预测模型

(1)

其中,x代表输入向量,K(x,xi)≡φi(x)代表核函数,{wn}代表模型的权重.

tn=y(xn;w)+n,

(2)

其中,tn服从均值为y(xn;w),方差为σ2的高斯分布,即

p(tn|x)=N(tn|y(xn),σ2).

由于tn是独立的,其似然函数可以写成

p(t|w,σ2)=(2πσ2)-N/2×

(3)

其中

t=(t1…tN)T,

w=(w0…wN),

Φ=[φ(x1),φ(x2),…,φ(xN)]T,

φ(xn)=

[1,K(xn,x1),K(xn,x2),…,K(xn,xN)]T.

如果将所有的训练数据均作为模型的参数,那么在通过(3)式进行权重w和噪声方差σ2的最大似然估计时将会导致严重的过拟合问题,为了避免此类情况的发生,通常的解决办法是对参数施加一些额外的限制约束,例如给似然函数或者误差函数添加复杂度惩罚项.在RVM算法中,采用先验概率分布来进行权重w的约束,通常采用零均值高斯先验分布:

(4)

其中,α是含有N+1个超参数的向量,每一个先验超参数α都对应着一个权重w,它起到调节作用.定义先验参数α为权重w的先验超参数,为了说明权重w的先验超参数α,需要为α定义一个先验分布,同时,为了说明噪声方差,需要定义另一个先验分布,这2个超参数的先验分布一般采用伽马分布.

(2π)-(N+1)/2|Σ|-1/2×

(5)

该后验概率的协方差和均值分别为

Σ=(σ-2ΦTΦ+A)-1,

(6)

μ=σ-2ΣΦTt,

(7)

其中,A=diag(α0,α1,…,αN).

由(6)和(7)式可知,为了求得权重的估计值就要计算出其后验概率分布的均值μ,而μ由协方差Σ给出,则必须先求出超参数α和β(令β=σ-2)的最佳取值,又知超参数的先验分布在对数尺度上具有一致性,因此,问题实际转化为最大化p(t|α,σ2),

L(α)=logp(t|α,σ2)=

(8)

其中协方差C=σ2I+ΦA-1ΦT.

则RVM的模型学习转化为边缘似然函数的对数(8)式对α、σ2的最大值的求解,即αMP和σ2MP.

通过边缘似然函数的快速最大化方法[15],进行循环迭代,当超参数估计收敛,α、σ2均为最大值,即αMP和σ2MP时,基于权重的后验分布对于新样本数据x*进行目标值t*的预测:

(9)

由于(9)式中等式右边两项均为高斯积分,则有

(10)

y*=μTφ(x*)，

(11)

(12)

由此可知,对于数据x*的目标值t*的预测均值即为y(x*;μ),其中,基函数权重的后验概率均值矩阵μ中,有很多项为零,这也是RVM稀疏性的保证.对于数据x*的目标值t*的预测方差包含两部分,一是噪声估计中的方差,二是由于权重预测的不确定性造成的方差.

2 三元锂离子电池SOC估计

本文采用的三元锂离子电池的额定容量16.4 Ah,放电截止电压2.8 V,充电截止电压4.35 V.通过电池测试设备在三元锂离子电池充放电过程中,进行包括充放电电压、电流、容量和温度以及时间等数据的采集.本文选择三元锂离子电池放电过程中的3 600组数据以供模型学习使用,选择另外3 600组数据以供验证模型的估算精度.

由于输入各变量和输出变量的量纲不一致以及变化范围差别较大,为了加快收敛速度,因此需要对采集的数据进行归一化处理,即将放电电压、放电电流、温度、时间以及放电容量等数据映射到[0,1]范围内,则有

(13)

其中,Di为原始数据,Dn为归一化后数据,Dmax为数据中最大值,Dmin为数据中最小值.

基于RVM算法的SOC估计的计算流程图如图1所示[12].

图 1 基于RVM算法的SOC估计的计算流程图

在RVM学习算法中,要选择适当的核函数,以将输入空间映射到高维空间,常用的核函数有Sigmoid核函数、多项式核函数、线性核函数、径向基核函数以及复合核函数等,其中径向基核函数中的高斯核函数具有较强的非线性、可分性和局部性的优点[12],本文选择高斯核函数作为RVM学习算法中的核函数:

,(14)

其中,xc为核函数中心,b为核函数的带宽,控制函数的径向作用范围.

当以三元锂离子电池的放电电压、放电电流和温度作为输入,SOC作为输出,进行基于RVM模型的学习,其过程如图2所示.

本文采用了一种改进的RVM算法,即循环相关向量机(RC-RVM),与常规RVM不同之处在于,RC-RVM将前一时刻的输出反馈到输入,和输入共同进行输出的预测,即模型的学习.基于RC-RVM的SOC估计,以三元锂离子电池的放电电压、放电电流、温度和前一时刻的SOC作为输入,SOC作为输出,进行模型的学习,其过程如图3所示.采用该方法的优势在于,估计出的SOC值不会发生突变,是一种闭环形式的反馈机制,以此来提高SOC的估计精度.

图 2 基于RVM的SOC估计示意图

图 3 基于RC-RVM的SOC估计示意图

本文采用的另一种改进的RVM算法,即自回归相关向量机(AG-RVM),与常规RVM不同之处在于,AG-RVM将前一时刻的输入和现时刻的输入共同进行输出的预测,即模型的学习.基于AG-RVM的SOC估计,以三元锂离子电池前一时刻和现时刻的放电电压、放电电流和温度作为输入,SOC作为输出,进行模型的学习,其过程如图4所示.

图 4 基于AG-RVM的SOC估计示意图

采用该方法的优势在于,同时考虑了之前时刻和现时刻的电池数据对于SOC的影响,通过降低基础数据的突变对于SOC估计的影响,来提高估计精度.

本文采用的最后一种改进的RVM算法,即自回归循环相关向量机(AG-RC-RVM),与常规RVM不同之处在于,AG-RC-RVM将前一时刻的输入和现时刻的输入以及前一时刻的输出共同作为输入,进行输出的预测.基于AG-RC-RVM的SOC估计,以三元锂离子电池前一时刻和现时刻的放电电压、放电电流、温度以及前一时刻的SOC作为输入,SOC作为输出,进行模型的学习,其过程如图5所示.

采用该方法的优势在于,可以综合RC-RVM和AG-RVM的优点,从而进一步提高估计精度.

图 5 基于AG-RC-RVM的SOC估计示意图

3 结果与分析

本文采用最大误差(ME)和均方根误差(RMSE)来评估RVM模型的拟合能力和泛化能力.ME和RMSE分别为

ME=maxi(|f(xi)-yi|),

(15)

(16)

取核函数的带宽值b=0.25,分别通过常规RVM算法、RC-RVM算法、AG-RVM算法和AG-RC-RVM算法对3 600组训练数据进行学习、建模,并对另外3 600组数据进行预测,将拟合ME、拟合RMSE、预测ME、预测RMSE、运行时间、迭代次数、支持向量数列表如表1所示.

表 1 4种算法的各项性能指标对比

由表1可知,RC-RVM算法、AG-RVM算法和AG-RC-RVM算法相比于常规RVM算法在预测精度方面均有较大提升,泛化能力增强,而运行时间则进一步缩短,其中,AG-RC-RVM算法表现最佳.

在RVM学习算法中,由于高斯核函数的带宽对学习模型的稀疏性、拟合与泛化能力具有较大影响,因此带宽选择的不同会导致学习模型的各项性能指标千差万别,本文通过选择不同的带宽,分别基于常规RVM、RC-RVM、AG-RVM和AG-RC-RVM进行了模型的学习,以拟合ME、拟合RMSE、预测ME、预测RMSE、迭代次数、支持向量数、运行时间为性能指标进行了试验,结果如图6所示.

通过分析图6可知,随着高斯核函数带宽的从小到大,各种RVM所需支持向量数逐渐减少,即稀疏性越来越好;而拟合误差逐渐增大,即拟合效果越来越差;估算误差逐渐降低,到带宽值为0.55左右后又呈现震荡趋势,即泛化能力越来越好,到带宽值为0.55左右后又呈现不确定状态.由分析可知,带宽对各种RVM算法的影响较为复杂,并不是严格意义上的线性相关,但是通过分析对比可以得出,AG-RC-RVM相较于另外3种RVM算法,在各项性能指标方面均有较大提升,尤其在带宽值为0.55时,拟合误差、估算误差均在1%以内,估算精度最高,而仅需9个支持向量,运行时间仅需0.67 s(如图7所示).

图 7 核函数带宽为0.55时基于AG-RC-RVM的SOC估计的各项性能指标

综上所述,可以得出核函数带宽值为0.55时的基于AG-RC-RVM的SOC估计算法具有快速、高效、精度高和泛化能力强等特点.文献[16]提出了基于最小二乘支持向量机(Least Square Support Vector Machine, LS-SVM)的SOC估计算法,验证结果表明,该模型具有较高的预测精度,即便在有噪声干扰的情况下也可以快速进行SOC估计.本文选择LS-SVM与常规RVM以及本文提出的3种改进RVM算法进行各项性能指标的对比试验.5种算法的拟合曲线、预测曲线、拟合误差曲线和预测误差曲线如图8所示.

图 8 5种学习算法的各项性能指标对比

5种算法的各项性能指标如表2所示.

表2 5种算法的各项性能指标

通过对比分析可知:

1) 在稀疏性方面,RC-RVM所需支持向量数最少,仅为9个,因此稀疏性最好,而LS-RVM需要26个支持向量,为另外4种算法的3倍左右,稀疏性较差.

2) 在拟合能力方面,通过对拟合ME和拟合RMSE的分析可知,AG-RC-RVM和LS-SVM的拟合误差均在1%以内,拟合能力远超其他3种算法.

3) 在预测性能即泛化能力方面,通过对预测ME和预测RMSE的分析可知,AG-RC-RVM和LS-SVM的预测误差均在1%以内,泛化能力远超其他3种算法.

4) 在运行速度方面,通过对比运行时间可以发现,LS-SVM所需要的运行时间远远超过另外4种算法,运行速度较慢,这是由于SVM随着训练样本的增加,会导致模型更加复杂,需要占用大量的计算资源和运行时间所致.

综上分析,可以得出,基于AG-RC-RVM算法的SOC估计,是5种算法里综合性能最佳的结论.

4 结论

本文将RVM算法运用到三元锂离子电池的SOC估计之中,对比研究了改进后的RVM算法,即RC-RVM、AG-RVM和AG-RC-RVM算法,再与当前应用比较广泛的LS-SVM算法进行比较后,综合分析得出,AG-RC-RVM算法具有较好的稀疏性,通过数据学习所得模型较为简单,所占用计算资源较少,所需计算时间较短,而且拟合误差和预测误差均在1%以内,具有非常好的拟合能力和泛化能力.从而得出,基于AG-RC-RVM算法的三元锂离子电池的SOC估计方法,具有精度高、拟合与泛化能力强和运行速度快等优点.